実数（根号の計算・分母の有理化）の練習問題と解き方

根号の計算と分母の有理化

$a > 0$, $b > 0$ のとき $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$、$\sqrt{k^2 a} = k\sqrt{a}$ です。まず根号の中をできるだけ小さくしてから、同じ根号どうしをまとめます。

例：$\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \sqrt{3}$

分母が和や差のときは、$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ を使って根号を消します。答えは分母に根号を残さない形で書きます。

二重根号と絶対値

「足して $a + b$、掛けて $ab$」になる 2 数を探します。$\sqrt{4 + \sqrt{15}}$ のように 2 がないときは、中を $\frac{8 + 2\sqrt{15}}{2}$ と変形してから外します。

絶対値は $|a| = a\ (a \geqq 0)$, $|a| = -a\ (a < 0)$ です。また $\sqrt{a^2} = |a|$ なので、$\sqrt{(x - 1)^2}$ は $x$ の範囲によって $x - 1$ にも $1 - x$ にもなります。

整数部分・小数部分と対称式の値

$2 < \sqrt{7} < 3$ なので、$\sqrt{7}$ の整数部分は 2、小数部分は $\sqrt{7} - 2$ です。小数部分は「もとの数 − 整数部分」で表します。

$x + \frac{1}{x} = k$ のとき、