定積分（数学III）の練習問題と解き方

基本の計算

計算方法は数学IIと同じで、原始関数 $F(x)$ を求めて $F(b) - F(a)$ を計算します。三角関数の値（$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ など）や、$e^0 = 1$, $\log 1 = 0$, $\log e = 1$ を正確に使いましょう。

偶関数・奇関数の利用

$\sin x$, $x\cos x$, $\dfrac{x}{x^2+1}$ は奇関数、$\cos x$, $x\sin x$, $x^2$ は偶関数です。積分区間が $-a$ から $a$ なら、奇関数の部分は計算せずに 0 とできます。

絶対値を含む定積分

$|\cos x|$ や $|\log x|$ も、中身の符号が変わる点で区間を分けて計算します。

ウォリスの公式

$I_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x\,dx$ とおくと、部分積分により $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ が成り立ちます。$I_0 = \dfrac{\pi}{2}$, $I_1 = 1$ から

$\cos^n x$ でも同じ値になります。

x を π/2 − t に置換するテクニック

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}\,dx$ のような積分は、$x = \frac{\pi}{2} - t$ とおくと、$\sin$ と $\cos$ が入れかわった式になります。もとの式と足すと被積分関数が $1$ になるので、$2I = \frac{\pi}{2}$ より $I = \frac{\pi}{4}$ と求まります。

一般に $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx$ が成り立つことを利用しています。