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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
数学C

複素数平面の練習問題と解き方

複素数を極形式で表すと、掛け算は「回転と拡大」になります。ド・モアブルの定理と回転の式を使いこなしましょう。

基礎・標準：高校3年・1学期／発展：高校3年・受験期

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絶対値・偏角・極形式

z=a+biz = a + bi の絶対値は ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}。z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta)（r=∣z∣r = |z|）の形を極形式、θ\theta を偏角といいます。

例：1+3i=2(cos⁡π3+isin⁡π3)1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)

積と商
∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,arg⁡z1z2=arg⁡z1+arg⁡z2,∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,arg⁡z1z2=arg⁡z1−arg⁡z2|z_1z_2| = |z_1||z_2|,\quad \arg z_1z_2 = \arg z_1 + \arg z_2,\qquad \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|},\quad \arg\frac{z_1}{z_2} = \arg z_1 - \arg z_2

ド・モアブルの定理と n 乗根

ド・モアブルの定理
(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta

(1+i)10(1 + i)^{10} のような計算は、極形式 2(cos⁡π4+isin⁡π4)\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) に直してから定理を使います。

方程式 zn=wz^n = w は、z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta) とおいて両辺の絶対値と偏角を比べます。偏角は 2kπ2k\pi だけの違いを考え、k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n - 1 として nn 個の解を求めます。

回転と図形への応用

点 β\beta を点 α\alpha を中心として θ\theta だけ回転した点 γ\gamma は

γ−α=(β−α)(cos⁡θ+isin⁡θ)\gamma - \alpha = (\beta - \alpha)(\cos\theta + i\sin\theta)

で求められます。また、γ−αβ−α\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} を極形式で表すと、絶対値は ACAB\dfrac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}、偏角は ∠BAC\angle \mathrm{BAC} を表すので、三角形の形がわかります。

軌跡

∣z−α∣=r|z - \alpha| = r は中心 α\alpha、半径 rr の円、∣z−α∣=∣z−β∣|z - \alpha| = |z - \beta| は 2 点を結ぶ線分の垂直二等分線、∣z−α∣=k∣z−β∣ (k≠1)|z - \alpha| = k|z - \beta|\ (k \neq 1) は円（アポロニウスの円）です。