微分係数と導関数の練習問題と解き方

平均変化率と微分係数

$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率は $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ で、2 点を結ぶ直線の傾きです。

例：$f(x) = x^2$ のとき $\frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h \to 2$ なので $f'(1) = 2$。

$\lim_{h \to 0}\frac{f(a + 2h) - f(a - h)}{h}$ のような極限は、分子に $f(a)$ を引いて加え、定義の形を 2 つ作って $3f'(a)$ と求めます。

導関数の計算

多項式は項ごとに微分します。$(2x + 1)(x - 3)$ のような積は、展開してから微分します。例：$(x^3 - 4x^2 + 5)' = 3x^2 - 8x$。

$x$ 以外の文字の関数も同じです。半径 $r$ の円の面積 $S = \pi r^2$ を $r$ で微分すると $\frac{dS}{dr} = 2\pi r$（円周の長さ）になります。

接線と法線

曲線上にない点から引いた接線は、接点の $x$ 座標を $t$ とおいて接線の式を作り、それが与えられた点を通る条件から $t$ を求めます。