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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
線形代数

連立一次方程式（掃き出し法）の練習問題

連立一次方程式は、拡大係数行列に行基本変形を行う「掃き出し法」で機械的に解けます。階数を使うと、解があるかどうかも判定できます。

基礎・標準・発展：大学1年・前期

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掃き出し法

行基本変形は次の 3 つです。どれも連立方程式の解を変えません。

  • 2 つの行を入れかえる
  • 1 つの行を 0 でない数倍する
  • ある行に別の行の定数倍を加える

拡大係数行列 (A∣b)(A \mid \boldsymbol{b}) を、主成分が 1 で、その列の他の成分が 0 の形（簡約な階段行列）にすると、解がそのまま読みとれます。

(1002010−10013)⇒x=2, y=−1, z=3\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right) \quad\Rightarrow\quad x = 2,\ y = -1,\ z = 3

階数と解の判定

階段行列にしたときの 0 でない行の数を階数（ランク）といいます。未知数が nn 個のとき

解の判定
  • rank⁡A=rank⁡(A∣b)=n\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{b}) = n … ただ 1 組の解
  • rank⁡A=rank⁡(A∣b)<n\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{b}) < n … 無数の解（自由度 n−rank⁡An - \operatorname{rank} A）
  • rank⁡A<rank⁡(A∣b)\operatorname{rank} A < \operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{b}) … 解なし

同次連立方程式 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} は常に x=0\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} を解にもち、AA が正方行列なら ∣A∣=0|A| = 0 のときに限り自明でない解をもちます。

解のパラメータ表示と解空間

解が無数にあるときは、主成分のない列の変数を任意の実数 tt などとおき、他の変数を tt で表します。たとえば簡約形が x+2z=2x + 2z = 2, y−3z=−3y - 3z = -3 なら、z=tz = t として

x=2−2t,y=−3+3t,z=tx = 2 - 2t,\quad y = -3 + 3t,\quad z = t

Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} の解全体（解空間）の次元は、n−rank⁡An - \operatorname{rank} A です。