数学II

面積の練習問題と解き方

定積分を使うと、曲線で囲まれた部分の面積が求められます。グラフの上下関係をつかむのがポイントです。問題には図がつきます。

基礎・標準：高校2年・3学期／発展：高校3年・受験期

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面積の求め方

2 曲線の間の面積

区間 $a \le x \le b$ でつねに $f(x) \ge g(x)$ のとき、2 曲線 $y = f(x)$ , $y = g(x)$ と 2 直線 $x = a$ , $x = b$ で囲まれた部分の面積 $S$ は

S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx

「上の式 − 下の式」を積分する、と覚えましょう。 $x$ 軸の下にある部分（ $f(x) \le 0$ ）の面積は $\displaystyle -\int_a^b f(x)\,dx$ になります。

解き方の手順

グラフの概形をかく（簡単なもので十分です）。
交点の $x$ 座標を求めて、積分区間を決める。
区間内でどちらが上にあるかを調べる。上下が入れかわる点があれば、そこで区間を分ける。
（上の式）−（下の式）を積分する。

1/6公式で計算を速く

放物線と直線、または 2 つの放物線で囲まれた面積では、交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ $(\alpha < \beta)$ とすると、差の式が $a(x - \alpha)(x - \beta)$ の形になります。そこで

\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3

を使うと、面積は $S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$ となります。交点がきれいな数でなくても、 $\beta - \alpha$ さえわかれば計算できるのが大きな利点です。2 次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の 2 解なら、解の公式から $\beta - \alpha = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$ です。

接線と放物線（1/3公式）

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と、その上の点 $x = t$ における接線の差は $a(x - t)^2$ になります。したがって、放物線・接線・直線 $x = s$ で囲まれた部分の面積は

S = \left|\int_t^s a(x-t)^2\,dx\right| = \frac{|a|}{3}|s - t|^3

です。接点で 2 つのグラフが接するので、差が 2 乗の形になるのがポイントです。

よくある間違い

上下を逆にする：（下の式）−（上の式）を積分すると、答えが負になります。面積は必ず正です。
区間を分けない：3 次関数などで上下が入れかわるのに 1 つの定積分で計算すると、正の部分と負の部分が打ち消し合ってしまいます。
1/6 公式の係数： $x^2$ の係数が 1 でないときは、 $|a|$ 倍を忘れずに。

問1基礎高2・3学期面積

曲線 $y = x^{2} + 2$ と $x$ 軸、および 2 直線 $x = -1$ , $x = 3$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

y = x^{2} + 2

答え

S = \frac{52}{3}

解き方

$x^{2} + 2 > 0$ であるから
$\begin{aligned}S &= \int_{-1}^{3} (x^{2} + 2)\,dx \\ &= \left[\frac{1}{3}x^{3} + 2x\right]_{-1}^{3} \\ &= (9 + 6) - \left(-\frac{1}{3} - 2\right) \\ &= \frac{52}{3}\end{aligned}$

問2標準高2・3学期面積

放物線 $y = x^{2} + x - 2$ と直線 $y = 0$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

y = x^{2} + x - 2

y = 0

答え

S = \frac{9}{2}

解き方

放物線と直線の交点の $x$ 座標は
$x^{2} + x - 2 = 0 \quad\text{より}\quad x^{2} + x - 2 = 0$
$(x + 2)(x - 1) = 0$ より $x = -2,\ 1$ 。
$-2 \le x \le 1$ では直線が放物線の上側にあるから、公式 $\displaystyle\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ を用いる。
$\begin{aligned}S &= \int_{-2}^{1} (-x^{2} - x + 2)\,dx \\ &= \frac{1}{6}\{1 - (-2)\}^{3} \\ &= \frac{9}{2}\end{aligned}$

問3発展入試演習面積

放物線 $y = x^{2} - 2x - 3$ 上の点 $(-3,\ 12)$ における接線を $\ell$ とする。この放物線と接線 $\ell$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

y = x^{2} - 2x - 3

\ell : y = -8x - 12

答え

S = 9

解き方

$y' = 2x - 2$ より、 $x = -3$ における接線の傾きは $-8$ 。よって接線 $\ell$ の方程式は
$y - 12 = -8(x + 3) \quad\text{すなわち}\quad y = -8x - 12$
放物線は接線の上側にあり、(放物線) − (接線) $= x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2}$ であるから
$\begin{aligned}S &= \int_{-3}^{0} (x + 3)^{2}\,dx \\ &= \left[\frac{1}{3}(x + 3)^{3}\right]_{-3}^{0} \\ &= 9\end{aligned}$

問1基礎高2・3学期面積

放物線 $y = 2x^{2} - 10x + 12$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

y = 2x^{2} - 10x + 12

問2標準高2・3学期面積

放物線 $y = x^{2} + x - 2$ と直線 $y = -2x - 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

y = x^{2} + x - 2

y = -2x - 2

問3発展入試演習面積

放物線 $y = x^{2} - 1$ 上の点 $(-1,\ 0)$ における接線を $\ell$ とする。この放物線と接線 $\ell$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

y = x^{2} - 1

\ell : y = -2x - 2

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