円の方程式・軌跡と領域の練習問題と解き方

円の方程式

一般形から中心と半径を読み取るには、$x$, $y$ それぞれについて平方完成します。3 点を通る円は、一般形に 3 点の座標を代入して $l$, $m$, $n$ の連立方程式を解きます。

円と直線・接線

円の中心と直線の距離を $d$、半径を $r$ とすると、$d < r$ で 2 点で交わり、$d = r$ で接し、$d > r$ で共有点をもちません。$y$ を消去した 2 次方程式の判別式で調べることもできます。

直線が円から切り取る弦の長さは、中心から直線までの距離 $d$ を使って $2\sqrt{r^2 - d^2}$ です。2 つの円の方程式の辺々を引くと、2 円の交点を通る直線（共通弦）の方程式が得られます。

軌跡

条件を満たす点 P の軌跡は、P$(x,\ y)$ とおいて条件を $x$, $y$ の式で表し、それが表す図形を答えます。

例：2 点 A$(0,\ 0)$, B$(3,\ 0)$ からの距離の比が $2 : 1$ の点 P は、$\mathrm{PA}^2 = 4\mathrm{PB}^2$ より $(x - 4)^2 + y^2 = 4$。中心 $(4,\ 0)$、半径 $2$ の円です（アポロニウスの円）。

動点 Q に連動して動く点 P の軌跡は、Q$(s,\ t)$ とおき、$s$, $t$ を $x$, $y$ で表して Q の条件式に代入します。

不等式の表す領域と最大・最小

$y > mx + n$ は直線の上側、$(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2$ は円の内部を表します。

連立不等式の表す領域で $ax + by$ の最大・最小を求めるときは、$ax + by = k$ とおくと直線を表すので、この直線が領域と共有点をもつような $k$ の範囲を考えます。領域が多角形なら、最大・最小は頂点でとります。