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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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言語
日本語English
テーマ
数学C

平面ベクトルの練習問題と解き方

ベクトルは成分の計算と、位置ベクトルによる図形の扱いの 2 本柱です。内積の公式と「係数比較」の考え方を身につけましょう。

基礎・標準：高校2年・3学期／発展：高校3年・受験期

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成分と大きさ・内積

公式
a⃗=(a1, a2) のとき ∣a⃗∣=a12+a22\vec{a} = (a_1,\ a_2) \text{ のとき } |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta

なす角は cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} から求めます。∣a⃗−b⃗∣2=∣a⃗∣2−2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 のように、大きさは 2 乗して展開するのが基本です。

平行と垂直

a⃗∥b⃗  ⟺  a⃗=kb⃗\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = k\vec{b}（kk は実数）、a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0（a⃗, b⃗≠0⃗\vec{a},\ \vec{b} \neq \vec{0}）。

位置ベクトル（内分点・外分点・重心）

点 A(a⃗)\mathrm{A}(\vec{a}), B(b⃗)\mathrm{B}(\vec{b}) に対して、線分 AB\mathrm{AB} を m:nm : n に分ける点は次のように表せます。

公式
内分点： na⃗+mb⃗m+n,外分点： −na⃗+mb⃗m−n,重心： a⃗+b⃗+c⃗3\text{内分点：}\ \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m + n},\qquad \text{外分点：}\ \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m - n},\qquad \text{重心：}\ \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}

角の二等分線と辺の交点は「AD:DB=OA:OB\mathrm{AD} : \mathrm{DB} = \mathrm{OA} : \mathrm{OB}」を使って内分点の公式に持ち込みます。

交点の位置ベクトル

2 つの線分の交点 P\mathrm{P} は、OP→\overrightarrow{\mathrm{OP}} を2 通りに表して係数を比べるのが定石です。

例：P\mathrm{P} が線分 AD\mathrm{AD} 上にあれば OP→=(1−k)a⃗+kOD→\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (1 - k)\vec{a} + k\overrightarrow{\mathrm{OD}}、線分 BC\mathrm{BC} 上にあれば OP→=lOC→+(1−l)b⃗\overrightarrow{\mathrm{OP}} = l\overrightarrow{\mathrm{OC}} + (1 - l)\vec{b}。a⃗, b⃗\vec{a},\ \vec{b} は 1 次独立（0⃗\vec{0} でなく平行でもない）なので、係数どうしが等しくなります。

注意

係数を比べてよいのは、a⃗, b⃗\vec{a},\ \vec{b} が 1 次独立のときだけです。答案ではそのことを一言書きましょう。

三角形の面積と面積比

公式
S=12∣a⃗∣2∣b⃗∣2−(a⃗⋅b⃗)2=12∣a1b2−a2b1∣S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} = \frac{1}{2}|a_1b_2 - a_2b_1|

αPA→+βPB→+γPC→=0⃗\alpha\overrightarrow{\mathrm{PA}} + \beta\overrightarrow{\mathrm{PB}} + \gamma\overrightarrow{\mathrm{PC}} = \vec{0}（α, β, γ>0\alpha,\ \beta,\ \gamma > 0）を満たす点 P\mathrm{P} について、△PBC:△PCA:△PAB=α:β:γ\triangle \mathrm{PBC} : \triangle \mathrm{PCA} : \triangle \mathrm{PAB} = \alpha : \beta : \gamma が成り立ちます。