積分の公式一覧（不定積分・定積分・置換積分・部分積分）

基本の不定積分

以下、 $C$ は積分定数、 $\log$ は自然対数を表します。

関数	不定積分	補足
$x^n$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$n = 0, 1, 2, \ldots$ （数学II）
$x^\alpha$	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$	$\alpha \ne -1$ （実数）
$\dfrac{1}{x}$	$\log\|x\| + C$	絶対値を忘れずに
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$	$\dfrac{a^x}{\log a} + C$	$a > 0,\ a \ne 1$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$-\dfrac{1}{\tan x} + C$
$\tan x$	$-\log\|\cos x\| + C$	置換積分で導く
$\log x$	$x\log x - x + C$	部分積分で導く

→ 多項式の不定積分の練習問題

→ 基本の不定積分（数学III）の練習問題

積分の性質と 1 次式の中身

線形性

\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx,\qquad \int \{f(x) \pm g(x)\}\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx

中身が 1 次式

$F(x)$ を $f(x)$ の原始関数とすると（ $a \ne 0$ ）

\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C

関数	不定積分
$(ax+b)^n$	$\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$	$n \ne -1$
$\dfrac{1}{ax+b}$	$\dfrac{1}{a}\log\|ax+b\| + C$
$e^{ax+b}$	$\dfrac{1}{a}e^{ax+b} + C$
$\sin(ax+b)$	$-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b) + C$
$\cos(ax+b)$	$\dfrac{1}{a}\sin(ax+b) + C$

置換積分・部分積分

置換積分法

\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \quad (t = g(x))

\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)| + C

部分積分法

\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx

関数	不定積分
$xe^x$	$(x-1)e^x + C$
$x^2e^x$	$(x^2-2x+2)e^x + C$	部分積分 2 回
$x\sin x$	$-x\cos x + \sin x + C$
$x\cos x$	$x\sin x + \cos x + C$
$x\log x$	$\dfrac{x^2}{2}\log x - \dfrac{x^2}{4} + C$
$e^{ax}\sin bx$	$\dfrac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2+b^2} + C$	同形出現
$e^{ax}\cos bx$	$\dfrac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2+b^2} + C$	同形出現

→ 置換積分の練習問題

→ 部分積分の練習問題

三角関数の積分と公式

2 倍角・半角の公式

\sin 2x = 2\sin x\cos x,\qquad \sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}

3 倍角の公式（次数下げ）

\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4},\qquad \cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}

積和公式

\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}

\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}

\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}

関数	不定積分
$\sin^2 x$	$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
$\cos^2 x$	$\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
$\tan^2 x$	$\tan x - x + C$
$\sin^3 x$	$-\cos x + \dfrac{1}{3}\cos^3 x + C$
$\dfrac{1}{\cos x}$	$\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x} + C$

→ 三角関数の積分の練習問題

分数関数・無理関数の積分

関数	不定積分	補足
$\dfrac{1}{(x+a)(x+b)}$	$\dfrac{1}{b-a}\log\left\|\dfrac{x+a}{x+b}\right\| + C$	$a \ne b$
$\dfrac{1}{x^2-a^2}$	$\dfrac{1}{2a}\log\left\|\dfrac{x-a}{x+a}\right\| + C$	$a > 0$
$\dfrac{1}{x^2+a^2}$	$\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a} + C$	大学
$\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\arcsin\dfrac{x}{a} + C$	大学
$\dfrac{1}{\sqrt{x^2+A}}$	$\log\left\|x+\sqrt{x^2+A}\right\| + C$	大学
$\sqrt{a^2-x^2}$	$\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\dfrac{x}{a}\right) + C$	大学
$\sqrt{ax+b}$	$\dfrac{2}{3a}(ax+b)\sqrt{ax+b} + C$

→ 分数関数の積分（部分分数分解）の練習問題

→ 逆三角関数を含む積分の練習問題

定積分の性質と公式

基本

\int_a^b f(x)\,dx = \Bigl[F(x)\Bigr]_a^b = F(b) - F(a)

\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx,\qquad \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx

偶関数・奇関数

\int_{-a}^{a}(\text{偶関数})\,dx = 2\int_0^a(\text{偶関数})\,dx,\qquad \int_{-a}^{a}(\text{奇関数})\,dx = 0

1/6 公式

\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3

微分と積分の関係

\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)

ウォリスの公式

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx = \begin{cases}\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} & (n\ \text{偶数})\\[1.5ex]\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3} & (n\ \text{奇数})\end{cases}

→ 定積分の計算（数学II）の練習問題

→ 定積分（数学III）の練習問題

面積・体積

面積

$a \le x \le b$ で $f(x) \ge g(x)$ のとき、2 曲線の間の面積は

S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx

放物線と直線で囲まれた面積

差が $a(x-\alpha)(x-\beta)$ のとき

S = \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3

回転体の体積

曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸、2 直線 $x = a$ , $x = b$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積は

V = \pi\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx

→ 面積の練習問題（図つき）

広義積分・重積分

積分	値	条件
$\displaystyle\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}$	$\dfrac{1}{p-1}$	$p > 1$ で収束
$\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{x^p}$	$\dfrac{1}{1-p}$	$p < 1$ で収束
$\displaystyle\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx$	$n!$	ガンマ関数
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx$	$\sqrt{\pi}$	ガウス積分
$\displaystyle\int_0^\infty e^{-ax}\sin bx\,dx$	$\dfrac{b}{a^2+b^2}$	$a > 0$

極座標変換

x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta

→ 広義積分の練習問題

→ 重積分の練習問題

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