二次関数の練習問題と解き方

平方完成と頂点・軸

例：$y = 2x^2 - 8x + 5 = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2\{(x - 2)^2 - 4\} + 5 = 2(x - 2)^2 - 3$ より、頂点は $(2,\ -3)$、軸は $x = 2$ です。

$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 平行移動すると、頂点も $(p,\ q)$ だけ移動します。$x$ 軸に関する対称移動は $y$ を $-y$ に、$y$ 軸に関する対称移動は $x$ を $-x$ におきかえます。

最大値・最小値

定義域がすべての実数なら、$a > 0$ のとき頂点で最小、$a < 0$ のとき頂点で最大になります。定義域があるときは、頂点が定義域に含まれるかと両端の値を比べます。

二次関数の決定では、頂点が分かれば $y = a(x - p)^2 + q$、$x$ 軸との交点が分かれば $y = a(x - \alpha)(x - \beta)$、それ以外は $y = ax^2 + bx + c$ とおいて条件を代入します。

文字を含む最大・最小（場合分け）

$f(x) = x^2 - 2ax + 3\ (0 \leqq x \leqq 2)$ の最小値は、軸 $x = a$ の位置で場合分けします。

• $a < 0$（軸が区間の左）：最小値 $f(0) = 3$
• $0 \leqq a \leqq 2$（軸が区間内）：最小値 $f(a) = -a^2 + 3$
• $a > 2$（軸が区間の右）：最小値 $f(2) = 7 - 4a$

最大値は、軸が区間の中央 $x = 1$ より左か右かで場合分けします。定義域が $a \leqq x \leqq a + 2$ のように動く場合も、軸と区間の位置関係で同じように考えます。