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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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言語
日本語English
テーマ
数学A

確率（数学A）の練習問題と解き方

確率は「すべての場合が同様に確からしい」ように数えることが基本です。同じ色の玉も区別して数えるのがコツです。

基礎・標準：高校1年・2学期／発展：高校3年・受験期

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確率の基本と余事象

事象 AA の確率は P(A)=n(A)n(U)P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)} です。2 個のさいころなら 36 通り、袋から 2 個取り出すなら nC2 {}_{n}\mathrm{C}_{2} 通りを全体とします。

和事象と余事象
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B),P(A‾)=1−P(A)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B),\qquad P(\overline{A}) = 1 - P(A)

「少なくとも 1 回」「少なくとも 1 個」は余事象を使うと簡単です。例：3 個のさいころで少なくとも 1 個 6 が出る確率は 1−(56)3=912161 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{91}{216}。

独立な試行と反復試行

独立な試行では、それぞれの確率を掛けられます。1 回の試行で事象 AA の起こる確率が pp のとき、nn 回のうちちょうど rr 回起こる確率は

nCr pr(1−p)n−r{}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^r(1 - p)^{n - r}

です。「先に 3 勝した方が優勝」のような問題では、最後の試合で優勝が決まることに注意して、それまでの試合を反復試行として数えます。

条件付き確率と期待値

条件付き確率と乗法定理
PA(B)=P(A∩B)P(A),P(A∩B)=P(A)PA(B)P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)},\qquad P(A \cap B) = P(A)P_A(B)

「取り出した玉が赤であったとき、それが箱 A のものである確率」のような原因の確率は、P(赤)P(\text{赤}) を箱ごとに場合分けして求め、上の式に当てはめます。

期待値は（値）×（その値をとる確率）の和です。賞金やもらえる金額の平均的な値を表します。