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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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言語
日本語English
テーマ
数学A

場合の数（順列・組合せ）の練習問題と解き方

場合の数は「順番に意味があるか」「区別があるか」を見極めることが大切です。公式を当てはめる前に、何を数えているのかをはっきりさせましょう。

基礎・標準：高校1年・1学期／発展：高校3年・受験期

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順列と組合せ

公式
nPr=n(n−1)⋯(n−r+1)=n!(n−r)!,nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!{}_{n}\mathrm{P}_{r} = n(n - 1)\cdots(n - r + 1) = \frac{n!}{(n - r)!},\qquad {}_{n}\mathrm{C}_{r} = \frac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!} = \frac{n!}{r!(n - r)!}

委員長・副委員長のように順番（役割）に意味があるときは順列 P\mathrm{P}、委員を選ぶだけのように順番に意味がないときは組合せ C\mathrm{C} を使います。同じものを何回選んでもよいときは重複順列 nrn^r です。

円順列・同じものを含む順列・最短経路

いろいろな順列

円順列：(n−1)!(n - 1)!　じゅず順列：(n−1)!2\dfrac{(n - 1)!}{2}　同じものを含む順列：n!p! q! r!\dfrac{n!}{p!\,q!\,r!}

隣り合うものはひとまとめにし、隣り合わないものは先に他を並べて間に入れるのが定石です。碁盤の目の最短経路は、→ と ↑ の並べ方（同じものを含む順列）として数えられ、横 mm 区画・縦 nn 区画なら m+nCm {}_{m+n}\mathrm{C}_{m} 通りです。

組分けと重複組合せ

6 人を 2 人ずつ A, B, C の部屋に分けると 6C2×4C2=90 {}_{6}\mathrm{C}_{2} \times {}_{4}\mathrm{C}_{2} = 90 通りですが、区別のない 3 組に分けるなら 3!3! で割って 15 通りです。同じ人数の組に区別がないときは、その組の並べ方で割ります。

重複組合せ

x+y+z=nx + y + z = n を満たす 0 以上の整数の組は、○ nn 個と仕切り | 2 本の並べ方に対応するので n+2C2 {}_{n+2}\mathrm{C}_{2} 組です。