式と証明の練習問題と解き方

二項定理と一般項

特定の項の係数を求めるときは、一般項 ${}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r$ を書き、文字の次数が条件に合う $r$ を求めます。

例：$(2x - 1)^5$ の $x^3$ の係数は、一般項 ${}_5\mathrm{C}_r (2x)^{5-r}(-1)^r$ で $r = 2$ のときなので ${}_5\mathrm{C}_2 \cdot 2^3 \cdot (-1)^2 = 80$。

$\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^6$ のように分数を含むときも、一般項を $x$ の累乗の形 $x^{12 - 3r}$ に整理すれば同じように求められます。$11^{50}$ を $100$ で割った余りなども、$(10 + 1)^{50}$ と見て二項定理を使います。

整式の割り算と分数式

整式 $A$ を整式 $B$ で割った商を $Q$、余りを $R$ とすると

が成り立ちます。割る式や商を求める問題では、この関係式から逆算します。

分数式の計算は分数と同じで、分母・分子を因数分解して約分し、足し算・引き算は通分してから計算します。

恒等式の係数決定

$x$ にどんな値を代入しても成り立つ等式を、$x$ についての恒等式といいます。係数を決める方法は 2 つあります。

• 係数比較法：両辺を展開して、同じ次数の項の係数を比べる。
• 数値代入法：$x = 1$ など計算が楽になる値を代入する（最後に恒等式になっていることを確かめる）。

例：$\frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x - 2}$ では、分母を払って $5x - 1 = a(x - 2) + b(x + 1)$。$x = -1$ を代入して $a = 2$、$x = 2$ を代入して $b = 3$ です（部分分数分解）。

相加平均と相乗平均・不等式の証明

$x > 0$ のとき $x + \frac{9}{x} \geqq 2\sqrt{9} = 6$ で、等号は $x = \frac{9}{x}$ すなわち $x = 3$ のとき。よって最小値は $6$ です。積が一定になる 2 つの正の数の和の最小値を求めるときに使います。

不等式の証明は、（左辺）−（右辺）を $(\ )^2 + (\ )^2$ のような平方の和に変形して $0$ 以上を示すのが基本です。例：$a^2 + b^2 - 2(a + b - 1) = (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \geqq 0$。