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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
数学III

分数関数の積分（部分分数分解）の練習問題と解き方

分母が因数分解できる分数関数は、部分分数に分解すると loglog の和として積分できます。

基礎・標準：高校3年・2学期／発展：高校3年・受験期

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基本の考え方

1(x+1)(x+3)\dfrac{1}{(x+1)(x+3)} は、そのままでは積分できませんが、

1(x+1)(x+3)=12(1x+1−1x+3)\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}\right)

と部分分数分解すると、∫dxx+a=log⁡∣x+a∣+C\int \frac{dx}{x+a} = \log|x+a| + C が使えます。

∫dx(x+1)(x+3)=12(log⁡∣x+1∣−log⁡∣x+3∣)+C=12log⁡∣x+1x+3∣+C\int \frac{dx}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{2}(\log|x+1| - \log|x+3|) + C = \frac{1}{2}\log\left|\frac{x+1}{x+3}\right| + C

部分分数分解のやり方

3x+1(x−1)(x+2)=Ax−1+Bx+2\dfrac{3x+1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2} とおき、両辺に (x−1)(x+2)(x-1)(x+2) を掛けると

3x+1=A(x+2)+B(x−1)3x + 1 = A(x+2) + B(x-1)

これは恒等式なので、x=1x = 1 を代入すると 4=3A4 = 3A、x=−2x = -2 を代入すると −5=−3B-5 = -3B となり、A=43A = \frac{4}{3}, B=53B = \frac{5}{3} と求まります（係数を比較する方法でもかまいません）。

ポイント

分母を 0 にする xx の値を代入すると、一気に係数が求まります。2 乗の因数 (x+a)2(x+a)^2 があるときは Ax+a+B(x+a)2\dfrac{A}{x+a} + \dfrac{B}{(x+a)^2} のように 2 つ用意します。

分子の次数が高いときは割り算

分子の次数が分母の次数以上のときは、まず割り算をして「多項式 + 分数」の形にします。

x2+3x+1x−1=x+4+5x−1\frac{x^2 + 3x + 1}{x - 1} = x + 4 + \frac{5}{x-1}

これで ∫x2+3x+1x−1 dx=12x2+4x+5log⁡∣x−1∣+C\displaystyle\int \frac{x^2+3x+1}{x-1}\,dx = \frac{1}{2}x^2 + 4x + 5\log|x-1| + C と計算できます。

分子が分母の導関数のとき

2x+1x2+x+1\dfrac{2x+1}{x^2+x+1} のように、分子が分母の導関数（の定数倍）になっていれば、部分分数分解をしなくても ∫f′(x)f(x) dx=log⁡∣f(x)∣+C\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \log|f(x)| + C が使えます。まずこの形かどうかを確認すると近道です。

よくある間違い

  • 分解の係数：1(x+a)(x+b)=1x+a−1x+b\frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{x+a} - \frac{1}{x+b} としてしまうミス。1b−a\frac{1}{b-a} 倍が必要です。通分して確かめましょう。
  • 割り算を忘れる：分子の次数が高いまま分解しようとしてもうまくいきません。
  • 絶対値：log⁡∣x+a∣\log|x+a| の絶対値を忘れずに。