数学A

図形の性質の練習問題と解き方

図形の問題は、使える定理を図の中から見つけ出すことが鍵です。比の定理（角の二等分線・チェバ・メネラウス）と円の定理（円周角・方べき）を使いこなしましょう。

基礎・標準：高校1年・3学期／発展：高校3年・受験期

基礎標準発展ミックス

三角形の性質と五心

角の二等分線の性質

$\angle A$ の二等分線と辺 BC の交点を D とすると $BD : DC = AB : AC$

重心 G は中線を $2 : 1$ に内分します。内心 I は内角の二等分線の交点で、 $\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A$ 。外心 O は外接円の中心で、鋭角三角形なら $\angle BOC = 2\angle A$ 。垂心 H では $\angle BHC = 180^\circ - \angle A$ です。

チェバの定理とメネラウスの定理

チェバ・メネラウス

\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1

チェバの定理は 3 本の線が 1 点で交わるとき、メネラウスの定理は 1 本の直線が三角形の 3 辺（またはその延長）と交わるときに成り立ちます。

メネラウスの定理は「頂点 → 分点 → 頂点 → …」と三角形を一周するように比を掛けます。どの三角形とどの直線に使うかを決めるのがポイントです。面積比は、高さが共通なら底辺の比、角が共通なら 2 辺の積の比で求めます。

円の性質・方べきの定理・作図

円周角は同じ弧に対する中心角の半分です。円に内接する四角形の対角の和は $180^\circ$ 。接線と弦のつくる角は、その内側の弧に対する円周角に等しくなります（接弦定理）。

方べきの定理

PA \cdot PB = PC \cdot PD,\qquad PT^2 = PA \cdot PB\quad (PT \text{ は接線})

2 つの円の位置関係は、中心間の距離 $d$ と半径の和・差を比べて判断します。作図では、垂直二等分線・角の二等分線・平行線を組み合わせて、線分の内分や $\sqrt{ab}$ の長さを作ります。多面体では、オイラーの多面体定理 $v - e + f = 2$ が成り立ちます。

問1基礎高1・3学期図形の性質

$\triangle ABC$ の内心を I とする。 $\angle IBC = 35^\circ$ , $\angle ICB = 25^\circ$ のとき、 $\angle A$ の大きさを求めよ。

答え

60^\circ

解き方

BI, CI は角の二等分線なので $\angle B = 70^\circ$ , $\angle C = 50^\circ$ 。よって
$\angle A = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ$

問2標準高1・3学期図形の性質

円の 2 つの弦 AB, CD が点 P で交わっている。 $PA = 6$ , $PB = 8$ , $PC = 2$ のとき、PD の長さを求めよ。

答え

PD = 24

解き方

方べきの定理より
$6 \cdot 8 = 2 \cdot PD \quad\Rightarrow\quad PD = 24$

問3発展入試演習図形の性質

$\triangle ABC$ の辺 BC を $4 : 1$ に内分する点を D、辺 AC を $4 : 1$ に内分する点を E とし、AD と BE の交点を P とする。

(1) $AP : PD$ を求めよ。
(2) $BP : PE$ を求めよ。
(3) $\triangle ABP$ の面積は $\triangle ABC$ の面積の何倍か。

答え

(1) $5 : 1$
(2) $5 : 1$
(3) $\frac{2}{3}$

解き方

(1) $\triangle ADC$ と直線 BE にメネラウスの定理を用いて
$\frac{AP}{PD} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = 1 \quad\Rightarrow\quad AP : PD = 5 : 1$
(2) $\triangle BCE$ と直線 AD にメネラウスの定理を用いて
$\frac{BP}{PE} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = 1 \quad\Rightarrow\quad BP : PE = 5 : 1$
(3)
$\triangle ABP = \frac{AP}{AD} \triangle ABD = \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} \triangle ABC = \frac{2}{3}\,\triangle ABC$

問1基礎高1・3学期図形の性質

四角形 ABCD に円が内接している。 $AB = 6$ , $BC = 6$ , $CD = 7$ のとき、辺 DA の長さを求めよ。

問2標準高1・3学期図形の性質

半径 2 の円 O と半径 1 の円 O' があり、中心間の距離 $OO'$ は 2 である。2 つの円の位置関係として正しいものを選べ。

ア互いに外部にある（離れている）
イ外接する
ウ2 点で交わる
エ内接する
オ一方が他方の内部にある

問3発展入試演習図形の性質

正三角形 20 個と正五角形 12 個で囲まれた凸多面体（二十・十二面体）がある。どの頂点にも 4 つの面が集まっているとき、この多面体の辺の数 $e$ と頂点の数 $v$ を求めよ。

(1)辺の数 $e$
(2)頂点の数 $v$

テレポート

主な機能

このページ内

分野

表示の設定

図形の性質の練習問題と解き方

三角形の性質と五心

チェバの定理とメネラウスの定理

円の性質・方べきの定理・作図

ヒント

答え

解き方

ヒント

答え

解き方

ヒント

答え

解き方

ヒント

答え

解き方

ヒント

答え

解き方

ヒント

答え

解き方

数学の問題ジェネレーター

三角形の性質と五心

チェバの定理とメネラウスの定理

円の性質・方べきの定理・作図

例題（解き方つき）

ヒント

答え

解き方

ヒント

答え

解き方

ヒント

答え

解き方

練習問題

ヒント

答え

解き方

ヒント

答え

解き方

ヒント

答え

解き方

関連する分野

正弦定理・余弦定理と面積

三角比