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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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日本語English
テーマ
数学I

二次方程式と二次不等式の練習問題と解き方

二次不等式は、グラフと xx 軸の位置関係で考えるのが基本です。判別式で共有点の個数を判断し、グラフが xx 軸より上か下かを読み取ります。

基礎・標準：高校1年・2学期／発展：高校3年・受験期

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解の公式と判別式

解の公式
ax2+bx+c=0  ⟺  x=−b±b2−4ac2aax^2 + bx + c = 0 \iff x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

xx の係数が 2b′2b' のときは x=−b′±b′2−acax = \dfrac{-b' \pm \sqrt{b'^2 - ac}}{a}

判別式 D=b2−4acD = b^2 - 4ac の符号で、実数解（グラフと xx 軸の共有点）の個数がわかります。D>0D > 0 なら 2 個、D=0D = 0 なら 1 個（接する）、D<0D < 0 なら 0 個です。

二次不等式の解

a>0a > 0 で、ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 が異なる 2 つの実数解 α<β\alpha < \beta をもつとき、

ax2+bx+c>0  ⟺  x<α, β<x,ax2+bx+c<0  ⟺  α<x<βax^2 + bx + c > 0 \iff x < \alpha,\ \beta < x,\qquad ax^2 + bx + c < 0 \iff \alpha < x < \beta
注意

x2x^2 の係数が負のときは、両辺に −1-1 を掛けて正にしてから解きます（不等号の向きが変わります）。D≦0D \leqq 0 のときは平方完成して考えます。例：(x−2)2>0(x - 2)^2 > 0 の解は「2 以外のすべての実数」、(x−2)2≦0(x - 2)^2 \leqq 0 の解は x=2x = 2 です。

つねに成り立つ条件と解の配置

「すべての実数 xx について x2−2kx+k+6>0x^2 - 2kx + k + 6 > 0」は、下に凸のグラフが xx 軸と共有点をもたない条件なので D<0D < 0 です。x2x^2 の係数に文字を含むときは、係数が 0 の場合を別に調べます。

解の配置

f(x)=0f(x) = 0 が異なる 2 つの正の解をもつ条件は、
① 判別式 D>0D > 0　② 軸 >0> 0　③ f(0)>0f(0) > 0
の 3 つです。「1 つの解が kk より大きく、もう 1 つが kk より小さい」は f(k)<0f(k) < 0 だけで表せます。