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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
線形代数

行列式の練習問題と計算方法

行列式は、行列が逆行列をもつかどうか（正則かどうか）を判定する大切な量です。計算方法と性質をあわせて身につけましょう。

基礎・標準・発展：大学1年・前期

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2 次・3 次の行列式（サラスの方法）

公式
∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

3 次では、右下がりの 3 つの積の和から、左下がりの 3 つの積の和を引きます（サラスの方法）。この方法は 4 次以上には使えません。

余因子展開と行基本変形

第 ii 行で展開すると ∣A∣=∑j(−1)i+jaij∣Aij∣|A| = \sum_j (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|（AijA_{ij} は第 ii 行と第 jj 列を除いた行列）。0 の多い行や列で展開すると計算が楽です。

4 次以上では、行基本変形で 0 を増やしてから展開するか、三角行列にします。三角行列の行列式は対角成分の積です。

行列式の性質

性質
  • 2 つの行を入れかえると符号が変わる
  • 1 つの行を kk 倍すると行列式も kk 倍（nn 次なら ∣kA∣=kn∣A∣|kA| = k^n|A|）
  • ある行に別の行の定数倍を加えても変わらない
  • ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB| = |A||B|、∣tA∣=∣A∣|{}^tA| = |A|、∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}

行についての性質は列についても成り立ちます。文字を含む行列式は、これらの性質で共通因数をくくり出して因数分解します。

クラメルの公式・面積と体積

Ax=bA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}（∣A∣≠0|A| \neq 0）の解は xj=∣Aj∣∣A∣x_j = \frac{|A_j|}{|A|} です。AjA_j は AA の第 jj 列を b\boldsymbol{b} で置きかえた行列です（クラメルの公式）。

2 つのベクトルでつくる平行四辺形の面積は ∣ad−bc∣|ad - bc|、3 つのベクトルでつくる平行六面体の体積は、3 つを並べた行列式の絶対値です。