EN

テレポート

主な機能

問題を解く学年・時期で選ぶ今日の1問プリント作成 グラフ解答・採点先生・塾の方へマイページ積分の公式集分野一覧

このページ内

分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

表示の設定

言語
日本語English
テーマ
数学C

平面上の曲線（2 次曲線・媒介変数・極座標）の練習問題

放物線・楕円・双曲線の標準形と焦点の公式を整理し、接線・媒介変数表示・極座標まで練習しましょう。

基礎・標準：高校3年・1学期／発展：高校3年・受験期

グラフで見る

0この分野でプリントを作る

放物線

定点 F\mathrm{F}（焦点）と定直線 ℓ\ell（準線）から等距離にある点の軌跡が放物線です。

公式
y2=4px⋯焦点 (p, 0), 準線 x=−py^2 = 4px \quad\cdots\quad \text{焦点 } (p,\ 0),\ \text{準線 } x = -p
x2=4py⋯焦点 (0, p), 準線 y=−px^2 = 4py \quad\cdots\quad \text{焦点 } (0,\ p),\ \text{準線 } y = -p

楕円と双曲線

楕円 x2a2+y2b2=1 (a>b>0)\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a > b > 0)

焦点 (±a2−b2, 0)(\pm\sqrt{a^2 - b^2},\ 0)、長軸の長さ 2a2a、短軸の長さ 2b2b。楕円上の点から 2 焦点までの距離の和は 2a2a。

双曲線 x2a2−y2b2=1 (a>0, b>0)\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\ (a > 0,\ b > 0)

頂点 (±a, 0)(\pm a,\ 0)、焦点 (±a2+b2, 0)(\pm\sqrt{a^2 + b^2},\ 0)、漸近線 y=±baxy = \pm\dfrac{b}{a}x。双曲線上の点から 2 焦点までの距離の差は 2a2a。

注意

楕円は a2−b2\sqrt{a^2 - b^2}、双曲線は a2+b2\sqrt{a^2 + b^2} です。符号を取り違えやすいので注意しましょう。

接線と平行移動

曲線上の点 (x1, y1)(x_1,\ y_1) における接線は、次の形で覚えておくと便利です。

x1xa2+y1yb2=1,x1xa2−y1yb2=1,y1y=2p(x+x1)\frac{x_1x}{a^2} + \frac{y_1y}{b^2} = 1,\qquad \frac{x_1x}{a^2} - \frac{y_1y}{b^2} = 1,\qquad y_1y = 2p(x + x_1)

傾きが与えられた接線や、直線との共有点の個数は、直線の式を代入した 2 次方程式の判別式で調べます。4x2+9y2−8x+36y+4=04x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0 のような式は、平方完成して (x−1)29+(y+2)24=1\dfrac{(x-1)^2}{9} + \dfrac{(y+2)^2}{4} = 1 のような平行移動の形にします。

媒介変数表示と極座標

楕円 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 は x=acos⁡θx = a\cos\theta, y=bsin⁡θy = b\sin\theta と表せます。媒介変数を消去するときは cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 を使います。

極座標と直交座標
x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,r2=x2+y2x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^2 = x^2 + y^2

極方程式 r=4cos⁡θr = 4\cos\theta は、両辺に rr を掛けて x2+y2=4xx^2 + y^2 = 4x（中心 (2, 0)(2,\ 0)、半径 22 の円）になります。