指数関数と対数関数の練習問題と解き方

指数法則と累乗根

累乗根を含む計算は、すべて同じ底の累乗に直してから指数を計算します。例：$\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{16} = 2^{\frac{2}{3}} \times 2^{\frac{4}{3}} = 2^2 = 4$。

大小比較も同じ底にそろえ、底が $1$ より大きければ指数が大きいほど大きい（$1$ より小さければ逆）ことを使います。

対数の性質と底の変換

例：$\log_2 3 \cdot \log_3 8 = \frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{3\log 2}{\log 3} = 3$。

方程式・不等式

指数の方程式は両辺を同じ底の累乗で表して指数を比べます。$4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$ のような形は $2^x = t$（$t > 0$）とおいて $t$ の 2 次方程式にします。

対数の方程式・不等式では、まず真数が正という条件を確認します。例：$\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ は $x > 2$ のもとで $x(x - 2) = 8$ を解き、$x = 4$（$x = -2$ は不適）。

常用対数と桁数

正の数 $N$ が $n$ 桁の整数 $\Leftrightarrow$ $10^{n-1} \leqq N < 10^n$ $\Leftrightarrow$ $n - 1 \leqq \log_{10} N < n$ です。

例：$\log_{10} 2 = 0.3010$ とすると $\log_{10} 2^{50} = 15.05$ なので、$2^{50}$ は $16$ 桁。さらに小数部分 $0.05$ が $0 \leqq 0.05 < \log_{10} 2$ を満たすので、最高位の数字は $1$ です。

$0 < N < 1$ のときは、$-n \leqq \log_{10} N < -(n - 1)$ なら小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れます。