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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
数学B

統計的な推測の練習問題と解き方

期待値と分散の計算から、正規分布を使った推定・検定までを、正規分布表の値を使いながら練習しましょう。

基礎・標準・発展：高校2年・3学期

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確率変数の期待値と分散

公式
E(X)=∑xkpk,V(X)=E(X2)−{E(X)}2,σ(X)=V(X)E(X) = \sum x_kp_k,\qquad V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2,\qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}
E(aX+b)=aE(X)+b,V(aX+b)=a2V(X),σ(aX+b)=∣a∣σ(X)E(aX + b) = aE(X) + b,\qquad V(aX + b) = a^2V(X),\qquad \sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)

分散は、定義 V(X)=∑(xk−m)2pkV(X) = \sum (x_k - m)^2p_k より E(X2)−{E(X)}2E(X^2) - \{E(X)\}^2 で計算するほうが楽なことが多いです。

二項分布

1 回の試行で事象 AA が起こる確率が pp のとき、この試行を nn 回くり返して AA が起こる回数 XX は二項分布 B(n, p)B(n,\ p) に従います。

公式
P(X=k)=nCk pk(1−p)n−k,E(X)=np,V(X)=np(1−p)P(X = k) = {}_n\mathrm{C}_k\,p^k(1-p)^{n-k},\qquad E(X) = np,\qquad V(X) = np(1 - p)

正規分布と標準化

XX が正規分布 N(m, σ2)N(m,\ \sigma^2) に従うとき、Z=X−mσZ = \dfrac{X - m}{\sigma} は標準正規分布 N(0, 1)N(0,\ 1) に従います。確率は、正規分布表の値 p(z)=P(0≦Z≦z)p(z) = P(0 \leqq Z \leqq z) と、グラフが yy 軸について対称であることを使って求めます。

例：XX が N(50, 102)N(50,\ 10^2) に従うとき P(40≦X≦70)=P(−1≦Z≦2)=p(1)+p(2)=0.3413+0.4772=0.8185P(40 \leqq X \leqq 70) = P(-1 \leqq Z \leqq 2) = p(1) + p(2) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185。

二項分布の近似

nn が大きいとき、B(n, p)B(n,\ p) は N(np, np(1−p))N(np,\ np(1-p)) で近似できます。標本平均 X‾\overline{X} は N(m, σ2n)N\left(m,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right) で近似できます。

推定と仮説検定

信頼度 95% の信頼区間
母平均： X‾−1.96σn≦m≦X‾+1.96σn\text{母平均：}\ \overline{X} - 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leqq m \leqq \overline{X} + 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
母比率： R−1.96R(1−R)n≦p≦R+1.96R(1−R)n\text{母比率：}\ R - 1.96\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}} \leqq p \leqq R + 1.96\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}

仮説検定では、「偏りはない」などの帰無仮説のもとで標準化した値 ZZ を計算し、有意水準 5%5\% の棄却域（両側なら ∣Z∣≧1.96|Z| \geqq 1.96）に入れば帰無仮説を棄却します。