多項式の不定積分の練習問題と解き方

不定積分とは

関数 $f(x)$ に対して、微分すると $f(x)$ になる関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数といいます。たとえば $(x^3)' = 3x^2$ なので、$x^3$ は $3x^2$ の原始関数です。

$x^3 + 1$ や $x^3 - 5$ も微分すると $3x^2$ になるように、原始関数は定数の分だけ無数にあります。そこで任意の定数 $C$ を使って

と表し、これを $3x^2$ の不定積分、$C$ を積分定数といいます。不定積分の答えには必ず $+C$ をつけ、「$C$ は積分定数」と書き添えるのが普通です。

基本の公式

つまり、多項式は項ごとに積分できます。「次数を 1 つ上げて、上げたあとの次数で割る」と覚えましょう。定数 $a$ の積分は $\int a\,dx = ax + C$ です。

例：$\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx = 6 \cdot \frac{1}{3}x^3 - 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + 5x + C = 2x^3 - 2x^2 + 5x + C$

積の形は展開してから

$\int (x+1)(x-3)\,dx$ のような積の形は、そのままでは公式が使えません。まず展開して多項式に直します。

なお、$(x+a)^n$ の形は、展開しなくても次の公式で積分できます。展開して求めた答えとは積分定数の分だけ見た目が違いますが、どちらも正解です。

条件から関数を決める

「$f'(x) = 3x^2 - 2x$, $f(1) = 3$ を満たす $f(x)$ を求めよ」のような問題では、まず不定積分で $f(x) = x^3 - x^2 + C$ とし、条件 $f(1) = 3$ から $C$ を決めます。$1 - 1 + C = 3$ より $C = 3$ なので、$f(x) = x^3 - x^2 + 3$ です。

「曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(x,\ y)$ における接線の傾きが〇〇」という表現は、$f'(x) = 〇〇$ という意味です。曲線が通る点の条件から積分定数を決めます。

よくある間違い

• 積分定数 $C$ の書き忘れ：不定積分では必ず $+C$ をつけます。
• 係数の割り忘れ：$\int x^2\,dx = x^3$ は誤り。正しくは $\frac{1}{3}x^3 + C$ です。
• 定数項の積分：$\int 5\,dx = 5x + C$ です。$5$ のまま残したり、$0$ にしたりしないようにしましょう。
• 積をそのまま積分：$\int (x+1)(x-3)\,dx$ を $\int (x+1)\,dx \times \int (x-3)\,dx$ とすることはできません。積は展開してから積分します。