EN

テレポート

主な機能

問題を解く学年・時期で選ぶ今日の1問プリント作成 グラフ解答・採点先生・塾の方へマイページ積分の公式集分野一覧

このページ内

分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

表示の設定

言語
日本語English
テーマ
数学II

加法定理の練習問題と解き方

加法定理から 2 倍角・半角の公式や三角関数の合成が導かれます。公式どうしのつながりを意識して練習しましょう。

基礎・標準：高校2年・2学期／発展：高校3年・受験期

グラフで見る

0この分野でプリントを作る

加法定理

加法定理
sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

例：sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=22⋅32+22⋅12=6+24\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}。

2 直線 y=m1x+n1y = m_1x + n_1, y=m2x+n2y = m_2x + n_2 のなす角 θ\theta は、tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right| から求められます。

2 倍角・半角の公式

2 倍角の公式
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1
半角の公式
sin⁡2α2=1−cos⁡α2,cos⁡2α2=1+cos⁡α2\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2},\qquad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}

cos⁡2θ+sin⁡θ=0\cos 2\theta + \sin\theta = 0 のような方程式は、cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta を使って sin⁡θ\sin\theta の 2 次方程式にします。どの形の公式を使うかは、残したい関数で選びます。

三角関数の合成

合成
asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2 sin⁡(θ+α)a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\,\sin(\theta + \alpha)

ただし cos⁡α=aa2+b2\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, sin⁡α=ba2+b2\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}。

座標平面に点 (a, b)(a,\ b) をとると、原点からの距離が a2+b2\sqrt{a^2 + b^2}、xx 軸の正の向きとなす角が α\alpha です。例：sin⁡θ+3cos⁡θ=2sin⁡(θ+π3)\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right)。

合成すると −a2+b2≦asin⁡θ+bcos⁡θ≦a2+b2-\sqrt{a^2 + b^2} \leqq a\sin\theta + b\cos\theta \leqq \sqrt{a^2 + b^2} がわかるので、最大値・最小値が求められます。θ\theta の範囲が制限されているときは、θ+α\theta + \alpha の範囲に注意します。

置きかえによる最大・最小

sin⁡θ+cos⁡θ=t\sin\theta + \cos\theta = t とおくと、両辺を 2 乗して sin⁡θcos⁡θ=t2−12\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}。また合成により −2≦t≦2-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2} です。sin⁡θ+cos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ\sin\theta + \cos\theta + \sin\theta\cos\theta のような式は、tt の 2 次関数として最大・最小を調べます。