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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
微分積分（大学）

テイラー展開・マクローリン展開の練習問題

関数を xx のべき級数で表すテイラー展開を使うと、近似値の計算や、不定形の極限の計算が見通しよくなります。

基礎・標準・発展：大学1年・前期

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テイラー展開とマクローリン展開

公式
f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+⋯f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots

a=0a = 0 のときをマクローリン展開といいます。xnx^n の係数は f(n)(0)n!\frac{f^{(n)}(0)}{n!} なので、逆に展開がわかれば f(n)(0)=n!×(xn の係数)f^{(n)}(0) = n! \times (x^n \text{ の係数}) と高次の微分係数が求められます。

よく使う展開

基本の展開
ex=1+x+x22!+x33!+⋯ ,sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯ ,cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,\qquad \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots,\qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
log⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯ ,11−x=1+x+x2+⋯ ,(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯\log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots,\qquad \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \cdots,\qquad (1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots

log⁡(1+x)\log(1 + x), 11−x\frac{1}{1 - x}, (1+x)α(1 + x)^{\alpha} の展開は ∣x∣<1|x| < 1 で成り立ちます。

積・合成関数の展開

ex2e^{x^2} は ete^t の展開に t=x2t = x^2 を代入し、exsin⁡xe^x\sin x は 2 つの展開を掛けて必要な次数までの項を集めます。毎回 f(n)(0)f^{(n)}(0) を計算するよりずっと楽です。

exsin⁡x=(1+x+x22+⋯ )(x−x36+⋯ )=x+x2+x33+⋯e^x\sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots\right)\left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \cdots

展開を使った極限

00\frac{0}{0} の不定形は、分子・分母を展開すると一目で極限がわかります。

lim⁡x→0x−sin⁡xx3=lim⁡x→0x36−x5120+⋯x3=16\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \cdots}{x^3} = \frac{1}{6}
ポイント

分母の次数（ここでは x3x^3）までの項を正確に展開すれば十分です。