定数係数 2 階線形微分方程式の練習問題

特性方程式と一般解

$y = e^{\lambda x}$ を $y'' + ay' + by = 0$ に代入すると、特性方程式 $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$ が得られます。

初期条件 $y(0)$, $y'(0)$ から $C_1$, $C_2$ の連立方程式をつくって決めます。

未定係数法

右辺 $f(x)$ の形に合わせて特殊解の形を予想し、代入して係数を決めます。

オイラー型

$x^2y'' + axy' + by = 0$ は、$y = x^{\lambda}$ を代入すると $\lambda(\lambda - 1) + a\lambda + b = 0$ が得られ、異なる実数解なら $y = C_1x^{\lambda_1} + C_2x^{\lambda_2}$ です（$x = e^t$ と置換すると定数係数の方程式になります）。