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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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日本語English
テーマ
数学III

基本の不定積分（数学III）の練習問題と解き方

数学IIIの積分の出発点です。基本公式を正確に覚え、根号や分数を指数の形に直す変形に慣れましょう。

基礎・標準・発展：高校3年・2学期

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基本公式

関数不定積分（CC は積分定数）
xαx^\alpha（α≠−1\alpha \ne -1）xα+1α+1+C\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C
1x\dfrac{1}{x}log⁡∣x∣+C\log|x| + C
exe^xex+Ce^x + C
axa^x（a>0, a≠1a > 0,\ a \ne 1）axlog⁡a+C\dfrac{a^x}{\log a} + C
sin⁡x\sin x−cos⁡x+C-\cos x + C
cos⁡x\cos xsin⁡x+C\sin x + C
1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2 x}tan⁡x+C\tan x + C
1sin⁡2x\dfrac{1}{\sin^2 x}−1tan⁡x+C-\dfrac{1}{\tan x} + C

どの公式も、右の列を微分すると左の列になることで確かめられます。数学IIIでは、log⁡\log は自然対数（底が ee）を表します。

根号や分数は指数の形に

x\sqrt{x} や 1x2\frac{1}{x^2} は、x12x^{\frac{1}{2}}, x−2x^{-2} のように指数の形に直すと、∫xα dx\int x^\alpha\,dx の公式がそのまま使えます。

∫x dx=∫x12 dx=23x32+C=23xx+C\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{\frac{1}{2}}\,dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C
∫dxx2=∫x−2 dx=−x−1+C=−1x+C\int \frac{dx}{x^2} = \int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C

答えは、問題に合わせて根号や分数の形に戻して書くのが普通です。

注意

α=−1\alpha = -1 のときだけは公式が使えません（分母が 0 になります）。∫dxx=log⁡∣x∣+C\int \frac{dx}{x} = \log|x| + C です。絶対値を忘れないようにしましょう。

積分しやすい形に変形する

そのままでは公式が使えない式も、変形すると基本公式の組み合わせになります。

  • 分数を分ける：x2+3x+2x=x+3+2x\dfrac{x^2 + 3x + 2}{x} = x + 3 + \dfrac{2}{x}
  • 展開する：(x+1x)2=x+2+1x\left(\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = x + 2 + \dfrac{1}{x}
  • 三角関数の公式：tan⁡2x=1cos⁡2x−1\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1、(sin⁡x+cos⁡x)2=1+sin⁡2x(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x
  • 指数法則：e2x+1ex=ex+e−x\dfrac{e^{2x} + 1}{e^x} = e^x + e^{-x}

中身が 1 次式のとき

f(ax+b)f(ax + b) の形は、∫f(ax+b) dx=1aF(ax+b)+C\displaystyle\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C（FF は ff の原始関数）を使います。たとえば ∫e2x dx=12e2x+C\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C、∫sin⁡3x dx=−13cos⁡3x+C\int \sin 3x\,dx = -\frac{1}{3}\cos 3x + C です。くわしくは置換積分のページで練習できます。