微分法の応用（数学III）の練習問題

接線と法線

曲線外の点から引いた接線は、接点を $(t,\ f(t))$ とおいて接線の式をつくり、それが与えられた点を通る条件から $t$ を求めます。

増減と極値

$f'(x) > 0$ の区間で $f(x)$ は増加し、$f'(x) < 0$ の区間で減少します。$f'(x)$ の符号が正から負に変わる点で極大、負から正に変わる点で極小になります。

例：$f(x) = xe^{-x}$ のとき $f'(x) = (1 - x)e^{-x}$。$e^{-x} > 0$ なので符号は $1 - x$ で決まり、$x = 1$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとります。

凹凸と変曲点・グラフの概形

$f''(x) > 0$ の区間でグラフは下に凸、$f''(x) < 0$ の区間で上に凸です。凹凸が入れかわる点を変曲点といいます。

グラフの概形をかくときは、$f'(x)$ と $f''(x)$ の符号を 1 つの増減表にまとめ、さらに $x \to \pm\infty$ での様子（漸近線）や、座標軸との交点を調べます。

方程式・不等式・最大最小への応用

実数解の個数：方程式 $f(x) = a$ の実数解の個数は、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数です。定数 $a$ を分離して、グラフで考えます。

不等式の証明：$f(x) = (\text{左辺}) - (\text{右辺})$ とおき、増減を調べて $f(x) > 0$ を示します。$f'(x)$ の符号がわかりにくいときは $f''(x)$ まで調べます。

最大・最小：閉区間では、極値と区間の両端の値を比べます。図形の問題では、1 つの文字で量を表し、その文字のとりうる範囲に注意します。