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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
数学III

三角関数の積分の練習問題と解き方

三角関数の積分は、公式で「次数を下げる」「積を和に直す」のが基本方針です。

基礎・標準：高校3年・2学期／発展：高校3年・受験期

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基本公式

∫sin⁡ax dx=−1acos⁡ax+C,∫cos⁡ax dx=1asin⁡ax+C\int \sin ax\,dx = -\frac{1}{a}\cos ax + C,\qquad \int \cos ax\,dx = \frac{1}{a}\sin ax + C
∫dxcos⁡2ax=1atan⁡ax+C\int \frac{dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a}\tan ax + C

sin⁡\sin を積分すると −cos⁡-\cos になる（マイナスがつく）点に注意しましょう。微分の (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x と混同しやすいところです。

2 乗は半角の公式で次数を下げる

半角の公式
sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2},\qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
∫sin⁡2x dx=∫1−cos⁡2x2 dx=x2−14sin⁡2x+C\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin 2x + C

sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x は 2 倍角の公式 sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x でまとめます。sin⁡4x\sin^4 x や cos⁡4x\cos^4 x は、半角の公式を 2 回使います。

積を和に直す

積和公式
sin⁡αcos⁡β=12{sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)}\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}
cos⁡αcos⁡β=12{cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)}\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\}
sin⁡αsin⁡β=−12{cos⁡(α+β)−cos⁡(α−β)}\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\}

例：∫sin⁡3xcos⁡x dx=12∫(sin⁡4x+sin⁡2x) dx=−18cos⁡4x−14cos⁡2x+C\displaystyle\int \sin 3x\cos x\,dx = \frac{1}{2}\int (\sin 4x + \sin 2x)\,dx = -\frac{1}{8}\cos 4x - \frac{1}{4}\cos 2x + C

奇数乗は置換で

sin⁡3x\sin^3 x のように奇数乗なら、1 つだけ残して sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x と書きかえ、t=cos⁡xt = \cos x とおきます。

∫sin⁡3x dx=∫(1−cos⁡2x)sin⁡x dx=−cos⁡x+13cos⁡3x+C\int \sin^3 x\,dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\,dx = -\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C

1cos⁡x\dfrac{1}{\cos x} も、分母・分子に cos⁡x\cos x を掛けて cos⁡x1−sin⁡2x\dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x} とし、t=sin⁡xt = \sin x とおくと部分分数分解で積分できます。

三角関数の直交性

m,nm, n を自然数とするとき、次が成り立ちます。フーリエ級数の基礎となる大切な性質です。

∫02πsin⁡mxsin⁡nx dx=∫02πcos⁡mxcos⁡nx dx={0(m≠n)π(m=n)\int_0^{2\pi} \sin mx\sin nx\,dx = \int_0^{2\pi} \cos mx\cos nx\,dx = \begin{cases} 0 & (m \ne n) \\ \pi & (m = n) \end{cases}
∫02πsin⁡mxcos⁡nx dx=0\int_0^{2\pi} \sin mx\cos nx\,dx = 0