固有値・固有ベクトルと対角化の練習問題

固有値と固有方程式

$A\boldsymbol{x} = \lambda\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$）を満たす $\lambda$ を固有値、$\boldsymbol{x}$ を固有ベクトルといいます。$(A - \lambda E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ が自明でない解をもつ条件から

$|\lambda E - A|$ を固有多項式（特性多項式）といいます。三角行列の固有値は対角成分です。

固有ベクトルの求め方

固有値 $\lambda$ ごとに $(A - \lambda E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ を掃き出し法で解きます。解は定数倍の自由度をもつので、「$c\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$（$c \neq 0$）」のように表します。成分の比 $x : y = 1 : 2$ で答えることもあります。

対角化と $A^n$

固有値がすべて異なれば必ず対角化できます。重解の固有値 $\lambda$（重複度 $m$）があるときは、固有空間の次元 $n - \operatorname{rank}(A - \lambda E)$ が $m$ に等しいときに限り対角化できます。