三角比の練習問題と解き方

三角比の定義と有名角

$\angle C = 90^\circ$ の直角三角形 ABC で、$\sin A = \dfrac{BC}{AB}$、$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$、$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$ です。

辺の比が $1 : 2 : \sqrt{3}$、$1 : 1 : \sqrt{2}$ の直角三角形から、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$、$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\tan 45^\circ = 1$ などが求まります。

半径 1 の半円上で角 $\theta$ の位置にある点を $P(x,\ y)$ とすると、$\sin\theta = y$、$\cos\theta = x$、$\tan\theta = \frac{y}{x}$ です。これで鈍角の三角比も定義できます。

三角比の相互関係

$\sin\theta = \frac{3}{5}$ で $\theta$ が鈍角なら、$\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$、鈍角では $\cos\theta < 0$ なので $\cos\theta = -\frac{4}{5}$ です。符号は $\theta$ の範囲から決めます。

三角比の方程式・不等式

$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$ で $\sin\theta = \frac{1}{2}$ を解くには、単位円で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ の点を探して $\theta = 30^\circ,\ 150^\circ$ とします。不等式 $\sin\theta > \frac{1}{2}$ なら、$y$ 座標が $\frac{1}{2}$ より大きい部分で $30^\circ < \theta < 150^\circ$ です。