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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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言語
日本語English
テーマ
数学C

空間ベクトルの練習問題と解き方

空間ベクトルの計算は平面ベクトルとほぼ同じです。成分が 1 つ増えることと、「平面上にある条件」を押さえましょう。

基礎・標準：高校2年・3学期／発展：高校3年・受験期

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成分・大きさ・内積

公式
∣a⃗∣=a12+a22+a32,a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2},\qquad \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

なす角は平面と同じく cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} です。2 つのベクトルの両方に垂直なベクトルは、(x, y, z)(x,\ y,\ z) とおいて内積が 0 になる条件から求めます。

同じ平面上にある条件

点 P\mathrm{P} が 3 点 A, B, C\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C} の定める平面上にあるための条件は、次のどちらかで表します。

平面上の点
AP→=sAB→+tAC→\overrightarrow{\mathrm{AP}} = s\overrightarrow{\mathrm{AB}} + t\overrightarrow{\mathrm{AC}}
OP→=sOA→+tOB→+uOC→,s+t+u=1\overrightarrow{\mathrm{OP}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}} + t\overrightarrow{\mathrm{OB}} + u\overrightarrow{\mathrm{OC}},\quad s + t + u = 1

下の形は「係数の和が 1」と覚えておくと、直線と平面の交点を求めるときに便利です。

直線と平面の交点・垂線の足

直線 OP\mathrm{OP} と平面 ABC\mathrm{ABC} の交点 Q\mathrm{Q} は、OQ→=kOP→\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = k\overrightarrow{\mathrm{OP}} とおき、a⃗, b⃗, c⃗\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c} の係数の和が 1 になるように kk を決めます。

点から平面に下ろした垂線の足 H\mathrm{H} は、H\mathrm{H} が平面上にある条件と、OH→\overrightarrow{\mathrm{OH}} が平面上の 2 つのベクトルと垂直である条件（内積 0）を連立します。四面体の体積は「底面積 × 高さ ÷ 3」で求められます。