Σ の計算といろいろな数列の練習問題

Σ の公式

$\sum (ak^2 + bk + c) = a\sum k^2 + b\sum k + \sum c$ のように、項ごとに分けて公式を使います。$(k+1)(2k-1)$ のような積は、まず展開しましょう。答えは $\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ のように因数分解した形にまとめるのが普通です。

階差数列

数列 $\{a_n\}$ のとなり合う項の差 $b_n = a_{n+1} - a_n$ を並べた数列を階差数列といいます。

部分分数分解で和を求める

分数の和は、各項を2 つの分数の差に分けると、となり合う項が打ち消し合います。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$ のように、分母の差で割ることを忘れないようにしましょう。

群数列と S − rS

群数列では、第 $n$ 群の最初の項が、もとの数列の何番目かを考えます。第 $n$ 群に $n$ 個の項があるとき、第 $(n-1)$ 群までの項数は $\frac{1}{2}n(n-1)$ です。

$S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^{n-1}$ のような（等差）×（等比）の和は、$S - 2S$ を計算すると等比数列の和が現れます。