部分積分の練習問題と解き方

解き方

1. $f(x) = \log x$, $g'(x) = x$ とすると $f'(x) = \dfrac{1}{x}$, $g(x) = \frac{1}{2}x^{2}$。部分積分法 $\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$ を用いる。

2. $$\begin{aligned}\int x\log x\,dx &= \frac{1}{2}x^{2}\log x - \int \frac{1}{2}x^{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx \\ &= \frac{1}{2}x^{2}\log x - \frac{1}{2}\int x\,dx \\ &= \frac{1}{2}x^{2}\log x - \frac{1}{4}x^{2} + C\end{aligned}$$

解き方

1. $f(x) = x^2$, $g'(x) = e^{x}$ として部分積分を 2 回用いる。部分積分法 $\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$ を用いる。

2. $$\begin{aligned}\int x^{2}e^{x}\,dx &= x^{2}e^{x} - 2\int xe^{x}\,dx \\ &= x^{2}e^{x} - 2\left\{xe^{x} - \int e^{x}\,dx\right\} \\ &= x^{2}e^{x} - 2xe^{x} + 2e^{x} + C \\ &= (x^{2} - 2x + 2)e^{x} + C\end{aligned}$$

解き方

1. $t = x^2$ とおくと $dt = 2x\,dx$ より、$x^3 e^{x^2}\,dx = x^2 e^{x^2} \cdot x\,dx = \dfrac{1}{2}te^t\,dt$。さらに部分積分を用いて

   $$\begin{aligned}\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx &= \frac{1}{2}\int te^{t}\,dt \\ &= \frac{1}{2}\left(te^{t} - \int e^{t}\,dt\right) \\ &= \frac{1}{2}(t - 1)e^{t} + C \\ &= \frac{1}{2}(x^{2} - 1)e^{x^{2}} + C\end{aligned}$$

解き方

1. $f(x) = x$, $g'(x) = \cos x$ とすると $g(x) = \sin x$。部分積分法 $\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$ を用いる。

2. $$\begin{aligned}\int x\cos x\,dx &= x\sin x - \int \sin x\,dx \\ &= x\sin x + \cos x + C\end{aligned}$$

解き方

1. $\log(x + 3) = (x + 3)'\log(x + 3)$ と考え、$g(x) = x + 3$ として部分積分する。部分積分法 $\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$ を用いる。

2. $$\begin{aligned}\int \log(x + 3)\,dx &= (x + 3)\log(x + 3) - \int (x + 3) \cdot \frac{1}{x + 3}\,dx \\ &= (x + 3)\log(x + 3) - \int dx \\ &= (x + 3)\log(x + 3) - x + C\end{aligned}$$

$g(x) = x$ として計算すると $x\log(x + 3) - x + 3\log(x + 3)$ となり、同じ式になります。

解き方

1. $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ なので、$f(x) = x$, $g(x) = \tan x$ として部分積分する。また $\displaystyle\int \tan x\,dx = -\log|\cos x| + C$ である。

   $$\begin{aligned}\int \frac{x}{\cos^{2} x}\,dx &= x\tan x - \int \tan x\,dx \\ &= (x\tan x + \log|\cos x|) + C\end{aligned}$$