逆三角関数を含む積分の練習問題と解き方

公式 $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$（$a > 0$）を用いる。

分母を平方完成すると $x^{2} - 6x + 10 = (x - 3)^{2} + 1$。$t = x - 3$ とみて公式 $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$（$a > 0$）を用いると

$I = \displaystyle\int \sqrt{x^{2} - 1}\,dx$ とおき、$(x)' = 1$ として部分積分する。$x^2 = (x^{2} - 1) + 1$ を使うと

最後の積分は 公式 $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + A}} = \log\left|x + \sqrt{x^2 + A}\right| + C$ より

よって（$C$ は積分定数）

公式 $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$（$a > 0$）を用いる。

根号の中を平方完成すると $-x^{2} + 4x = 4 - (x - 2)^{2}$。公式 $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$（$a > 0$）を用いると

$x^2$ をひとまとまりとみて部分分数に分解すると

公式 $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$（$a > 0$）を用いて