広義積分の練習問題と解き方

解き方

1. 下端を $\varepsilon$ として、$\varepsilon \to +0$ の極限を考える。

   $$\begin{aligned}\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx &= \lim_{\varepsilon \to +0}\left[\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^{2}}\right]_{\varepsilon}^{1} \\ &= \lim_{\varepsilon \to +0}\left(\frac{3}{2} - \frac{3}{2}\sqrt[3]{\varepsilon^{2}}\right) \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}$$

一般に $\int_0^1 \frac{dx}{x^p}$ は $p < 1$ のとき収束し、$p \ge 1$ のとき発散します。

解き方

1. 部分積分を用いると

   $$\int_0^R xe^{-2x}\,dx = \left[-\frac{1}{2}xe^{-2x}\right]_0^R + \frac{1}{2}\int_0^R e^{-2x}\,dx$$

2. $R \to \infty$ のとき $Re^{-aR} \to 0$, $e^{-aR} \to 0$ であるから

   $$\int_0^\infty xe^{-2x}\,dx = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

解き方

1. 部分積分を 2 回行う（同形出現）と、原始関数は

   $$\int e^{-3x}\sin x\,dx = -\frac{e^{-3x}}{10}\left(3\sin x + \cos x\right) + C$$

2. $R \to \infty$ のとき $e^{-aR} \to 0$ で、$\sin, \cos$ は有界なので

   $$\int_0^{\infty} e^{-3x}\sin x\,dx = 0 - \left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{1}{10}$$

解き方

1. 上端を $R$ として、$R \to \infty$ の極限を考える。

   $$\begin{aligned}\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}\sqrt{x}}\,dx &= \lim_{R \to \infty}\left[-\frac{2}{3x\sqrt{x}}\right]_{1}^{R} \\ &= \lim_{R \to \infty}\left(-\frac{2}{3R\sqrt{R}} + \frac{2}{3}\right) \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}$$

一般に $\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}$ は $p > 1$ のとき収束し、$p \le 1$ のとき発散します。

解き方

1. $I_n = \displaystyle\int_0^{\infty} x^n e^{-x}\,dx$ とおくと、部分積分と $\displaystyle\lim_{R\to\infty} R^n e^{-R} = 0$ により

   $$I_n = \left[-x^n e^{-x}\right]_0^{\infty} + n\int_0^{\infty} x^{n-1}e^{-x}\,dx = nI_{n-1}$$

2. また $I_0 = \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx = 1$ であるから

   $$I_{3} = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot I_0 = 3! = 6$$

一般に $\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx = n!$ です（ガンマ関数 $\Gamma(n+1) = n!$）。

解き方

1. 部分分数に分解すると $\dfrac{1}{(x+a)(x+b)} = \dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x+a} - \dfrac{1}{x+b}\right)$ なので

   $$\int_0^R \frac{1}{(x + 2)(x + 4)}\,dx = \frac{1}{2}\left[\log\frac{x + 2}{x + 4}\right]_0^R = \frac{1}{2}\left(\log\frac{R + 2}{R + 4} - \log\frac{2}{4}\right)$$

2. $R \to \infty$ のとき $\log\dfrac{R + a}{R + b} \to \log 1 = 0$ であるから

   $$\int_0^{\infty} \frac{1}{(x + 2)(x + 4)}\,dx = \frac{1}{2}\log 2$$