定積分の計算の練習問題と解き方

定積分の計算方法

$f(x)$ の原始関数の 1 つを $F(x)$ とするとき、

と計算します。積分定数 $C$ は引き算で消えるので、定積分では書きません。

例：$\displaystyle\int_1^2 (3x^2 - 2x)\,dx = \Bigl[x^3 - x^2\Bigr]_1^2 = (8 - 4) - (1 - 1) = 4$

定積分の性質

3 つ目の性質を使うと、積分区間をつなげたり分けたりできます。同じ被積分関数の定積分の和や差は、1 つにまとめてから計算すると楽です。絶対値を含む定積分で区間を分けるときにも使います。

1/6公式

積分区間の両端が、被積分関数（2 次式）の 0 点になっているときに使える公式です。放物線と直線で囲まれた面積の計算で大活躍します。

例：$\displaystyle\int_{-1}^{3}(x^2 - 2x - 3)\,dx = \int_{-1}^{3}(x+1)(x-3)\,dx = -\frac{1}{6}\{3 - (-1)\}^3 = -\frac{32}{3}$

証明は、$(x-\alpha)(x-\beta) = (x-\alpha)^2 - (\beta-\alpha)(x-\alpha)$ と変形して積分すると簡単です。

偶関数・奇関数の性質

$x^2$ や定数のように $f(-x) = f(x)$ を満たす関数を偶関数、$x$ や $x^3$ のように $f(-x) = -f(x)$ を満たす関数を奇関数といいます。積分区間が $-a$ から $a$ のときは、次が成り立ちます。

例：$\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3 + 3x^2 - x + 1)\,dx = 2\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx = 2\Bigl[x^3 + x\Bigr]_0^2 = 20$

絶対値を含む定積分

$|x - 2|$ のような絶対値は、中身の符号で場合分けしてはずします。中身が 0 になる点で積分区間を分けて、それぞれ計算して足します。

グラフをかくと、2 つの三角形の面積の和として確認できます。$|x^2 - 4x + 3|$ のような 2 次式なら、因数分解して符号の変わる点を見つけます。

定積分で表された関数

$f(x) = 3x^2 - 2\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ のような式では、$\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt$ が定数であることに注目し、これを $k$ とおきます。すると $f(x) = 3x^2 - 2k$ となり、

より $k = \frac{1}{3}$、したがって $f(x) = 3x^2 - \frac{2}{3}$ と求まります。

また、上端に $x$ を含む $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ は $x$ の関数で、次が成り立ちます。両辺を微分する問題でよく使います。