微分の応用（増減・極値・最大最小）の練習問題と解き方

増減表と極値

$f'(x) > 0$ となる区間で $f(x)$ は増加し、$f'(x) < 0$ となる区間で減少します。$f'(x)$ の符号が正から負に変わる点で極大、負から正に変わる点で極小になります。

例：$f(x) = x^3 - 3x$ では $f'(x) = 3(x + 1)(x - 1)$ なので

$x = -1$ で極大値 $2$、$x = 1$ で極小値 $-2$ をとります。

区間での最大・最小

閉区間 $a \leqq x \leqq b$ での最大値・最小値は、区間内の極値と区間の両端の値を比べて決めます。増減表を区間の端から端までかくと見落としがありません。

文章題では、変数のとりうる範囲（たとえば箱の高さ $x$ について $0 < x < \frac{a}{2}$）を最初に確認します。

方程式の実数解の個数

方程式 $f(x) = k$ の実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数に等しくなります。定数 $k$ を右辺に分離（定数分離）して、極大値・極小値と $k$ を比べます。

3 次関数で極大値 $M$、極小値 $m$ のとき、$m < k < M$ なら異なる 3 個、$k = m$ または $k = M$ なら 2 個、それ以外は 1 個です。

3 次関数 $f(x)$ が極値をもつ条件は、$f'(x) = 0$ が異なる 2 つの実数解をもつこと、つまり判別式 $D > 0$ です。

不等式への応用

「$x \geqq 0$ のとき $f(x) \geqq 0$ が常に成り立つ」ことを示すには、$x \geqq 0$ における $f(x)$ の最小値が $0$ 以上であることを示します。定数 $k$ を含む場合は、最小値 $\geqq 0$ となる $k$ の範囲を求めます。