置換積分の練習問題と解き方

解き方

1. $t = 4x - 1$ とおくと $dx = \frac{1}{4}\,dt$。$\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{t} = t^{\frac{1}{3}}$ として積分すると

   $$\begin{aligned}\int \frac{1}{\sqrt{4x - 1}}\,dx &= \frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{t}}\,dt \\ &= \frac{1}{4} \cdot 2\sqrt{t} + C \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{t} + C \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{4x - 1} + C\end{aligned}$$

解き方

1. $t = x^{2} + 2$ とおくと、$dt = 2x\,dx$ より $x\,dx = \dfrac{1}{2}\,dt$。

   $$\begin{aligned}\int x(x^{2} + 2)^{2}\,dx &= \frac{1}{2}\int t^{2}\,dt \\ &= \frac{1}{6}t^{3} + C \\ &= \frac{1}{6}(x^{2} + 2)^{3} + C\end{aligned}$$

解き方

1. $t = e^x$ とおくと $dt = e^x\,dx$ より $e^{2x}\,dx = e^x \cdot e^x\,dx = t\,dt$。

   $$\begin{aligned}\int \frac{e^{2x}}{e^{x} + 2}\,dx &= \int \frac{t}{t + 2}\,dt \\ &= \int \left(1 - \frac{2}{t + 2}\right)\,dt \\ &= t - 2\log(t + 2) + C \\ &= e^{x} - 2\log(e^{x} + 2) + C\end{aligned}$$

解き方

1. $t = 2x + 3$ とおくと $dx = \frac{1}{2}\,dt$。$\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{t} = t^{\frac{1}{3}}$ として積分すると

   $$\begin{aligned}\int \frac{1}{\sqrt{2x + 3}}\,dx &= \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{t}}\,dt \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C \\ &= \sqrt{t} + C \\ &= \sqrt{2x + 3} + C\end{aligned}$$

解き方

1. $t = \cos x$ とおくと $dt = -\sin x\,dx$ より $\sin x\,dx = -dt$。

   $$\begin{aligned}\int \cos^{5} x\sin x\,dx &= -\int t^{5}\,dt \\ &= -\frac{1}{6}t^{6} + C \\ &= -\frac{1}{6}\cos^{6} x + C\end{aligned}$$

解き方

1. $t = e^x$ とおくと $dt = e^x\,dx = t\,dx$ より $dx = \dfrac{dt}{t}$。

   $$\begin{aligned}\int \frac{1}{e^{x} + 2}\,dx &= \int \frac{1}{t(t + 2)}\,dt \\ &= \frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 2}\right)\,dt \\ &= \frac{1}{2}(\log t - \log(t + 2)) + C \\ &= \frac{1}{2}(x - \log(e^{x} + 2)) + C\end{aligned}$$

$t = e^x > 0$ なので、$\log$ の中の絶対値は不要です。