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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
数学II

点と直線（図形と方程式）の練習問題と解き方

座標を使うと、図形の性質を計算で調べられます。距離・分点・直線の公式を確実に使えるようにしましょう。

基礎・標準・発展：高校2年・1学期

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2 点間の距離と分点

公式

2 点 A(x1, y1)\mathrm{A}(x_1,\ y_1), B(x2, y2)\mathrm{B}(x_2,\ y_2) について

AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

線分 AB を m:nm : n に内分する点：(nx1+mx2m+n, ny1+my2m+n)\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m + n},\ \frac{ny_1 + my_2}{m + n}\right)（外分は nn を −n-n に）

3 点を頂点とする三角形の重心：(x1+x2+x33, y1+y2+y33)\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)

直線の方程式と平行・垂直

点 (x1, y1)(x_1,\ y_1) を通り傾き mm の直線は y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) です。2 点を通る直線は、まず傾きを求めてからこの式を使います。

平行・垂直

2 直線 y=m1x+n1y = m_1x + n_1, y=m2x+n2y = m_2x + n_2 について、平行 ⇔\Leftrightarrow m1=m2m_1 = m_2、垂直 ⇔\Leftrightarrow m1m2=−1m_1m_2 = -1。

一般形 a1x+b1y+c1=0a_1x + b_1y + c_1 = 0, a2x+b2y+c2=0a_2x + b_2y + c_2 = 0 では、平行 ⇔\Leftrightarrow a1b2−a2b1=0a_1b_2 - a_2b_1 = 0、垂直 ⇔\Leftrightarrow a1a2+b1b2=0a_1a_2 + b_1b_2 = 0。

直線 k(x+2y−3)+(x−y)=0k(x + 2y - 3) + (x - y) = 0 のように kk を含む直線は、kk の値にかかわらず 2 直線 x+2y−3=0x + 2y - 3 = 0, x−y=0x - y = 0 の交点を通ります。

点と直線の距離・対称な点

点と直線の距離
d=∣ax1+by1+c∣a2+b2d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

点 (x1, y1)(x_1,\ y_1) と直線 ax+by+c=0ax + by + c = 0 の距離です。

直線 ℓ\ell に関して点 A と対称な点 B(p, q)(p,\ q) は、「AB の中点が ℓ\ell 上にある」「AB ⊥ℓ\perp \ell」の 2 つの条件から求めます。

直線上の点 P について AP+PB\mathrm{AP} + \mathrm{PB} の最小値を求めるときは、A の対称点 A′ をとって AP+PB=A′P+PB≧A′B\mathrm{AP} + \mathrm{PB} = \mathrm{A'P} + \mathrm{PB} \geqq \mathrm{A'B} と考えます。