微分法（数学III）の練習問題と公式

基本関数の導関数

数学IIIでは $\log$ は自然対数（底 $e$）を表します。

積・商・合成関数の微分法

例：$\{(2x + 1)^5\}' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$、$(x^2e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = (x^2 + 2x)e^x$。

対数微分法・陰関数・媒介変数表示

対数微分法：$y = x^x$ のような関数は、両辺の自然対数をとって $\log y = x\log x$ とし、両辺を微分して $\frac{y'}{y} = \log x + 1$ から $y' = x^x(\log x + 1)$ を得ます。

陰関数：$x^2 + y^2 = 25$ のような式は、$y$ を $x$ の関数とみて両辺を微分します。$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$ より $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。

媒介変数表示：$x = f(t)$, $y = g(t)$ のとき $\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$、さらに $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$ です。

高次導関数

$y'$ をさらに微分したものが $y''$（第 2 次導関数）、$n$ 回微分したものが $y^{(n)}$（第 $n$ 次導関数）です。$y'$, $y''$, $y'''$ を計算して規則性を見つけます。