三角関数の練習問題と解き方

弧度法と一般角

$180^\circ = \pi$ ラジアンです。$30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ はすぐに言えるようにしましょう。

単位円周上で角 $\theta$ の動径との交点を $(x,\ y)$ とすると $\cos\theta = x$, $\sin\theta = y$, $\tan\theta = \frac{y}{x}$ です。$\theta$ と $\theta + 2n\pi$ の動径は一致するので、三角関数の値も同じです。

グラフの周期と平行移動

$y = a\sin(b\theta - c) + d$（$a > 0$, $b > 0$）のグラフは、$y = a\sin b\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $\frac{c}{b}$、$y$ 軸方向に $d$ だけ平行移動したものです。

• 周期：$\frac{2\pi}{b}$（$\tan$ のときは $\frac{\pi}{b}$）
• 最大値 $a + d$、最小値 $-a + d$

三角方程式・三角不等式

$0 \leqq \theta < 2\pi$ で $\sin\theta = \frac{1}{2}$ を解くには、単位円周上で $y$ 座標が $\frac{1}{2}$ となる点を探して $\theta = \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$。不等式 $\sin\theta > \frac{1}{2}$ なら、その 2 点の間で $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ や $\cos 2\theta = \frac{1}{2}$ は、$t = \theta + \frac{\pi}{3}$ や $t = 2\theta$ とおき、$t$ の範囲を先に求めてから解きます。

$2\cos^2\theta + 3\sin\theta - 3 = 0$ のように $\sin$ と $\cos$ が混ざった 2 次式は、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ で $\sin\theta$ だけの式にし、$-1 \leqq \sin\theta \leqq 1$ に注意して解きます。