1 階微分方程式の練習問題と解き方

変数分離形

例：$y' = 2xy$ なら $\int \frac{dy}{y} = \int 2x\,dx$ より $\log|y| = x^2 + C_1$、一般解は $y = Ce^{x^2}$。初期条件 $y(0) = 3$ なら $C = 3$ です。

同次形

$y' = f\left(\frac{y}{x}\right)$ の形は、$y = ux$ とおくと $y' = u + xu'$ なので

となり、変数分離形に帰着します。最後に $u = \frac{y}{x}$ を戻します。

1 階線形微分方程式

両辺に積分因子 $e^{\int P\,dx}$ を掛けると、左辺が $\left(e^{\int P\,dx}y\right)'$ になります。係数が定数のときは「同次方程式の一般解 $Ce^{-px}$ ＋ 特殊解」と考えると速いです。

ベルヌーイ型 $y' + Py = Qy^n$ は $z = y^{1-n}$ とおくと 1 階線形になります。完全微分方程式 $P\,dx + Q\,dy = 0$（$P_y = Q_x$）は、$F_x = P$, $F_y = Q$ となる $F$ を求めて $F(x,\ y) = C$ が解です。