等差数列と等比数列の練習問題と解き方

等差数列の一般項と和

となり合う項の差が一定の数列を等差数列、その差 $d$ を公差といいます。

例：初項 $3$、公差 $4$ の等差数列は $a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1$。初項から第 $10$ 項までの和は $S_{10} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (3 + 39) = 210$ です。

等比数列の一般項と和

となり合う項の比が一定の数列を等比数列、その比 $r$ を公比といいます。

$r > 1$ のときは左の形、$r < 1$ のときは右の形を使うと符号の計算が楽です。

条件から数列を決める・和の最大

• 2 つの項から決める：初項を $a$、公差を $d$（公比を $r$）として連立方程式を作ります。等比数列では、2 式を割り算すると $a$ が消えます。
• 和の最大値：初項が正で公差が負の等差数列では、正の項を全部足したところで和が最大になります。$a_n > 0$ となる $n$ の範囲を調べましょう。
• 共通項：2 つの等差数列に共通な数は、最初の共通な数から、2 つの公差の最小公倍数ごとに現れます。
• 3 数の決定：等差数列をなす 3 数は $a - d,\ a,\ a + d$、等比数列をなす 3 数は $\frac{a}{r},\ a,\ ar$ とおくと計算が楽です。

積立の計算（等比数列の和の応用）

毎年初めに $a$ 万円ずつ、年利 $r$ の複利で積み立てると、$n$ 年目の末の元利合計は

となります。最初に積み立てたお金ほど長く利息がつくことに注意して、等比数列の和として表しましょう。