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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
数学I

正弦定理・余弦定理と面積の練習問題と解き方

三角形の 3 辺と 3 つの角のうち、いくつかがわかれば残りが求まります。どの定理を使うかを、与えられた条件から判断しましょう。

基礎・標準：高校1年・3学期／発展：高校3年・受験期

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正弦定理と余弦定理

正弦定理（RR は外接円の半径）
asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
余弦定理
a2=b2+c2−2bccos⁡A,cos⁡A=b2+c2−a22bca^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A,\qquad \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

「1 辺と 2 角」や外接円の問題には正弦定理、「2 辺とその間の角」や「3 辺」の問題には余弦定理を使います。sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=a:b:c\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c も正弦定理から導かれます。

三角形の面積と内接円

面積の公式
S=12bcsin⁡A,S=12r(a+b+c)(r は内接円の半径)S = \frac{1}{2}bc\sin A,\qquad S = \frac{1}{2}r(a + b + c)\quad (r \text{ は内接円の半径})

3 辺がわかっているときは、余弦定理で cos⁡A\cos A、sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1 で sin⁡A\sin A を求めてから面積を計算します。例：a=7a = 7, b=5b = 5, c=3c = 3 なら cos⁡A=−12\cos A = -\frac{1}{2} で A=120∘A = 120^\circ、S=1534S = \frac{15\sqrt{3}}{4} です。

2 つの解・円に内接する四角形・測量

aa, bb, AA が与えられて cc を求めるときは、余弦定理が cc の二次方程式になり、解が 2 つあることがあります。c>0c > 0 を満たすものはすべて答えです。

円に内接する四角形

対角の和は 180∘180^\circ なので cos⁡D=−cos⁡B\cos D = -\cos B、sin⁡D=sin⁡B\sin D = \sin B。対角線 AC の長さを △ABC\triangle ABC と △ACD\triangle ACD の余弦定理で 2 通りに表して cos⁡B\cos B を求めます。

測量の問題では、まず地面上の三角形で正弦定理を使って距離を求め、次に鉛直な直角三角形で tan⁡\tan を使って高さを求めます。