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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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日本語English
テーマ
数学III

関数の極限の練習問題と解き方

x→ax \to a や x→∞x \to \infty のときの関数の極限を求めます。不定形を変形する方法と、いくつかの重要な極限を身につけましょう。

基礎・標準：高校3年・1学期／発展：高校3年・受験期

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0/0 型：因数分解と有理化

x=ax = a を代入すると 00\frac{0}{0} になる式は、分子・分母に共通因数 x−ax - a があります。因数分解して約分してから代入します。

lim⁡x→2x2−5x+6x−2=lim⁡x→2(x−3)=−1\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 3) = -1

根号を含む場合は有理化します。

lim⁡x→0x+9−3x=lim⁡x→01x+9+3=16\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 9} + 3} = \frac{1}{6}
係数の決定

lim⁡x→af(x)x−a\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x - a} が有限の値になるとき、分母 →0\to 0 なので分子も f(a)=0f(a) = 0 でなければなりません（必要条件）。これを使って未知の係数を決めます。

三角関数の極限

公式
lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,\qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

sin⁡3x2x=sin⁡3x3x⋅32\frac{\sin 3x}{2x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3}{2} のように、sin⁡θθ\frac{\sin \theta}{\theta} の形をつくってから極限をとります。1−cos⁡x1 - \cos x を含む式は 1+cos⁡x1 + \cos x を掛けて sin⁡2x\sin^2 x に直します。

x→πx \to \pi などでは、t=x−πt = x - \pi とおいて t→0t \to 0 の極限に直すのが定石です。

$e$ の定義と指数・対数の極限

公式
lim⁡h→0(1+h)1h=e,lim⁡x→±∞(1+1x)x=e\lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} = e,\qquad \lim_{x \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
lim⁡h→0eh−1h=1,lim⁡h→0log⁡(1+h)h=1\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1,\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\log(1 + h)}{h} = 1

例：lim⁡x→0(1+2x)1x=lim⁡x→0{(1+2x)12x}2=e2\displaystyle\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \left\{(1 + 2x)^{\frac{1}{2x}}\right\}^2 = e^2。指数を調整して定義の形をつくるのがポイントです（数学IIIでは log⁡\log は自然対数を表します）。

片側極限と連続性

xx が aa より大きい側から近づくときの極限を右側極限 lim⁡x→a+0f(x)\displaystyle\lim_{x \to a+0} f(x)、小さい側からを左側極限 lim⁡x→a−0f(x)\displaystyle\lim_{x \to a-0} f(x) といいます。両者が一致するときに限り lim⁡x→af(x)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) が存在します。

関数 f(x)f(x) が x=ax = a で連続であるとは、lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a) が成り立つことです。∣x−a∣|x - a| を含む式は、x>ax > a と x<ax < a で場合分けして絶対値を外します。