線形代数

行列の計算の練習問題と解き方

行列の積は「行 × 列」で計算します。積の計算に慣れたら、逆行列の求め方と行列の方程式の解き方を身につけましょう。

基礎・標準・発展：大学1年・前期

基礎標準発展ミックス

和・スカラー倍・積

和・差・スカラー倍は成分ごとに計算します。積 $AB$ の $(i,\ j)$ 成分は、 $A$ の第 $i$ 行と $B$ の第 $j$ 列の成分を順に掛けて足したものです。

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ap + br & aq + bs \\ cp + dr & cq + ds \end{pmatrix}

注意

一般に $AB \neq BA$ です。また、 $(m \times n)$ 行列と $(n \times l)$ 行列の積は $(m \times l)$ 行列で、列の数と行の数が合わないと積は定義されません。

転置行列 $\,{}^tA$ は行と列を入れかえた行列で、 $\,{}^t(AB) = {}^tB\,{}^tA$ が成り立ちます。

逆行列の求め方

2 次の逆行列

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad ad - bc \neq 0 \text{ のとき}\quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

3 次以上では掃き出し法を使います。 $(A \mid E)$ に行基本変形を行い、左側が単位行列 $E$ になったとき、右側が $A^{-1}$ です。余因子行列 $\tilde{A}$ を使って $A^{-1} = \frac{1}{|A|}\tilde{A}$ と求めることもできます。

$AX = B$ は左から $A^{-1}$ を掛けて $X = A^{-1}B$ 、 $XA = B$ は右から掛けて $X = BA^{-1}$ です。掛ける向きに注意しましょう。

ケーリー・ハミルトンの定理と $A^n$

ケーリー・ハミルトンの定理

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \text{ のとき}\quad A^2 - (a + d)A + (ad - bc)E = O

これを使うと $A^2$ を $A$ と $E$ の 1 次式で表せるので、 $A^3$ , $A^4$ も次数を下げて計算できます。 $A^n$ は、 $A^2$ , $A^3$ を計算して規則性を見つけるか、対角化（固有値）を使って求めます。

問1基礎大学1年・前期行列の計算

次の行列 $A$ , $B$ について、 $-A + B$ を計算せよ。

A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}-2 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}

答え

\begin{pmatrix}-3 & 2 \\ -2 & -3\end{pmatrix}

解き方

各成分を計算すると
$-A + B = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ -2 & -3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 2 \\ -2 & -3\end{pmatrix}$

問2標準大学1年・前期行列の計算

次の行列の逆行列を求めよ。

A = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}

答え

A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1 & -2 \\ -4 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}

解き方

$(A \mid E)$ をつくる。
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
行基本変形で左側を単位行列にすると、右側に逆行列が現れる。
$A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1 & -2 \\ -4 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}$
（確かめ： $\det A = -1$ 、 $AA^{-1} = E$ ）

問3発展大学1年・前期行列の計算

次の行列 $A$ , $B$ について、 $XA = B$ を満たす行列 $X$ を求めよ。

A = \begin{pmatrix}-3 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}10 & -4 \\ 1 & -1\end{pmatrix}

答え

X = \begin{pmatrix}-3 & -1 \\ 0 & -1\end{pmatrix}

解き方

$A$ の逆行列は
$A^{-1} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\end{pmatrix}$
両辺に右から $A^{-1}$ を掛けると
$X = BA^{-1} = \begin{pmatrix}10 & -4 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & -1 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$

問1基礎大学1年・前期行列の計算

次の行列について、 $A\,{}^tA$ を計算せよ（ $\,{}^tX$ は $X$ の転置行列を表す）。

A = \begin{pmatrix}1 & -1 & 3 \\ -1 & -3 & -2\end{pmatrix}

問2標準大学1年・前期行列の計算

次の行列 $A$ について、 $A^{7}$ を求めよ。

A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

問3発展大学1年・前期行列の計算

次の行列が逆行列をもたないような定数 $k$ の値を求めよ。

\begin{pmatrix}k & 4 \\ 1 & k - 3\end{pmatrix}

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