偏微分の練習問題と解き方

偏導関数

$f_x$ は $y$ を定数とみて $x$ で微分したもの、$f_y$ は $x$ を定数とみて $y$ で微分したものです。

2 階偏導関数 $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$ も同様に求めます。$f_{xy}$, $f_{yx}$ が連続なら $f_{xy} = f_{yx}$ です（シュワルツの定理）。

全微分と接平面

近似式 $f(a + h,\ b + k) \fallingdotseq f(a,\ b) + f_x(a,\ b)h + f_y(a,\ b)k$ を使うと、$\sqrt{3.01^2 + 3.99^2}$ のような値を手計算で近似できます。

連鎖律

2 変数関数の極値と条件付き極値

$f_x = f_y = 0$ となる点（停留点）で、$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ を調べます。

• $D > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ … 極小
• $D > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ … 極大
• $D < 0$ … 極値をとらない（鞍点）

条件 $g(x,\ y) = 0$ のもとでの極値は、ラグランジュの未定乗数法：$F = f - \lambda g$ とおいて $F_x = F_y = 0$, $g = 0$ を解き、候補を求めます。