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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
数学III

数列の極限と無限級数の練習問題

nn を限りなく大きくしたとき、数列がどんな値に近づくかを調べます。不定形の処理と、無限等比級数の和の公式が中心です。

基礎・標準：高校3年・1学期／発展：高校3年・受験期

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∞/∞ 型と ∞ − ∞ 型

∞∞\frac{\infty}{\infty} の形の極限は、分母の最高次の項で分子と分母を割るのが基本です。1n→0\frac{1}{n} \to 0 を使って値を求めます。

lim⁡n→∞3n2−n2n2+1=lim⁡n→∞3−1n2+1n2=32\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 - n}{2n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n^2}} = \frac{3}{2}

n2+4n−n\sqrt{n^2 + 4n} - n のような ∞−∞\infty - \infty の形は、分母を 1 とみて分子を有理化します。

n2+4n−n=4nn2+4n+n=41+4n+1→2\sqrt{n^2 + 4n} - n = \frac{4n}{\sqrt{n^2 + 4n} + n} = \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + 1} \to 2
注意

∞−∞=0\infty - \infty = 0、∞∞=1\frac{\infty}{\infty} = 1 とは限りません。必ず式を変形してから極限をとります。

$r^n$ の極限と無限等比級数

公式
lim⁡n→∞rn={∞(r>1)1(r=1)0(∣r∣<1)(r≦−1 のときは振動)\lim_{n \to \infty} r^n = \begin{cases} \infty & (r > 1) \\ 1 & (r = 1) \\ 0 & (|r| < 1) \end{cases} \qquad (r \leqq -1 \text{ のときは振動})

初項 aa、公比 rr の無限等比級数 ∑n=1∞arn−1\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} は、a=0a = 0 または ∣r∣<1|r| < 1 のときに収束し、a≠0a \neq 0, ∣r∣<1|r| < 1 のとき和は

a1−r\frac{a}{1 - r}

3n+1+2n3n−2n\frac{3^{n+1} + 2^n}{3^n - 2^n} のように累乗が混ざった式は、いちばん底の大きい 3n3^n で分子と分母を割ると、(23)n→0\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0 が使えます。

「収束する xx の範囲」を求める問題では、初項が 0 になる場合（すべての項が 0 で収束する）を忘れないようにしましょう。

部分分数で求める無限級数の和

等比級数でない無限級数は、まず第 nn 部分和 SnS_n を求め、n→∞n \to \infty の極限を考えます。部分分数に分解すると、途中の項が打ち消し合います。

∑k=1n1k(k+1)=∑k=1n(1k−1k+1)=1−1n+1→1\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \to 1

∑n=1∞nrn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} nr^n のような「等差 × 等比」の形は、Sn−rSnS_n - rS_n を計算して等比数列の和に帰着させます。

はさみうちの原理

はさみうちの原理

an≦cn≦bna_n \leqq c_n \leqq b_n で、lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=α\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha ならば lim⁡n→∞cn=α\displaystyle\lim_{n \to \infty} c_n = \alpha

例：−1≦sin⁡n≦1-1 \leqq \sin n \leqq 1 より −1n≦sin⁡nn≦1n-\frac{1}{n} \leqq \frac{\sin n}{n} \leqq \frac{1}{n} なので、sin⁡nn→0\frac{\sin n}{n} \to 0。また 3n<2n+3n<2⋅3n3^n < 2^n + 3^n < 2 \cdot 3^n の nn 乗根をとると 2n+3nn→3\sqrt[n]{2^n + 3^n} \to 3 がわかります。