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分野

計算ドリル
四則計算分数割合・比速さ約数と倍数
中学1年
正負の数文字式一次方程式比例・反比例平面図形空間図形データの活用
中学2年
式の計算連立方程式一次関数平行線と角三角形と四角形確率箱ひげ図
中学3年
展開と因数分解平方根二次方程式関数 y=ax²相似円周角三平方の定理標本調査
数学I
展開と因数分解実数一次不等式集合と命題二次関数二次不等式三角比正弦・余弦定理データの分析
数学A
場合の数確率図形の性質整数の性質
数学II
式と証明複素数と方程式点と直線円・軌跡と領域三角関数加法定理指数・対数微分係数と導関数微分の応用多項式定積分（数II）面積
数学B
等差・等比数列Σ・階差数列漸化式・帰納法統計的な推測
数学C
平面ベクトル空間ベクトル2 次曲線・極座標複素数平面
数学III
数列の極限関数の極限微分法微分の応用基本公式（数III）置換積分部分積分三角関数部分分数分解定積分（数III）
微分積分（大学）
テイラー展開偏微分逆三角関数広義積分重積分
線形代数
行列の計算行列式連立一次方程式固有値・対角化
微分方程式
1 階微分方程式2 階線形微分方程式

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テーマ
数学I

式の展開と因数分解の練習問題と解き方

展開と因数分解は、数学のあらゆる計算の土台です。公式をすばやく使い分け、「最後まで」因数分解する習慣をつけましょう。

基礎・標準・発展：高校1年・1学期

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乗法公式と因数分解の公式

公式
(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca

因数分解は展開の逆です。まず共通因数をくくり出し、次に公式が使えないかを考えます。例：3x2−12=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x + 2)(x - 2)

たすき掛けと置き換え

6x2−13x+66x^2 - 13x + 6 のように x2x^2 の係数が 1 でないときはたすき掛けを使います。6=2×36 = 2 \times 3, 6=(−3)×(−2)6 = (-3) \times (-2) と分けて、斜めに掛けた和 2⋅(−2)+3⋅(−3)=−132 \cdot (-2) + 3 \cdot (-3) = -13 が xx の係数に一致すれば成功です。

6x2−13x+6=(2x−3)(3x−2)6x^2 - 13x + 6 = (2x - 3)(3x - 2)

同じ式のかたまりが何度も出てくるときは、1 つの文字に置き換えると見通しがよくなります。x2+2x=Ax^2 + 2x = A とおくと (x2+2x)2−2(x2+2x)−3=(A−3)(A+1)(x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = (A - 3)(A + 1) となり、もとに戻してさらに因数分解します。

注意

置き換えたあとは、必ずもとの文字に戻し、それ以上因数分解できないところまで分解します。(x2+2x−3)(x2+2x+1)=(x+3)(x−1)(x+1)2(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x + 1) = (x + 3)(x - 1)(x + 1)^2 まで進めましょう。

複2次式・2文字の式・対称式

x4+x2+1x^4 + x^2 + 1 のような複2次式は、x2=Xx^2 = X とおいても因数分解できないことがあります。そのときは平方の差を作ります。

x4+x2+1=(x2+1)2−x2=(x2+x+1)(x2−x+1)x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)

文字が 2 つ以上ある式は、次数の低い文字（または 1 つの文字）について整理するのが基本です。x2+xy−2y2+2x+7y−3x^2 + xy - 2y^2 + 2x + 7y - 3 は xx について整理し、定数部分 −2y2+7y−3=−(2y−1)(y−3)-2y^2 + 7y - 3 = -(2y - 1)(y - 3) を因数分解してからたすき掛けをします。

対称式

xx と yy を入れかえても変わらない式（対称式）は、x+yx + y と xyxy で表せます。例：x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy、(x−y)2=(x+y)2−4xy(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy。